Bonjour,
maintenant j'attaque les suites!!
On étudie la fonction f:x→ (2x+1)e-x, puis on calcule, à l'aide d'une suite définie par récurrence, une valeur approchée d'une solution de l'équation f(x)=x
1.Etudier les variations de f et tracer la courbe représentative de f, notée C, en précisant la position de C par rapport à son asymptote
ma réponse:
la fonction f est dérivable sur R
f'(x)=2e-x-(2x+1)e-x
f'(x)=e-x(-2x+1)
x | -∞ 1/2 +∞
--------------------------------------------------------------------------
g'(x)| + 0 -
f(x)-x|fest au dessus de son asymptote f est en dessous de son asymptote
2.a) Montrer que l'équation f(x)=x admet deux solutions dont l'une notée alfa, appartient à l'intervalle I=[1; 5/4]
ma réponse:
Comme f est continue et strictement décroissante sur [1; 4/5]et comme 0 ∈ [f(1/2); +∞[ alors d'après le Corollaire du théorème des valeurs intermédiaire l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur I
je pense que ce n'est pas ça mais y a t-il un lien avec ça?
b) Calculer f(1) et f(5/4) puis à l'aide du sens de variation de f, montrer que, pour tout x ∈ I, f(x) appartient à I.
f(1)=3e-1 f(5/4)=(7/2)e(-5/4)
il y a d'autres questions mais je pense que je posterai par la suite
merci d'avance
salut
avant d'aller me coucher je voulais te dire que ton calcul de f'(x) est juste et que les variations de f sont correctes (sauf etourderie)
mais pour la position relative de f par rapport à son asymptotec'est bizarre ,
on verra cela car j'ai pas trop le temps là : je te dis simpement que lim(x->+oo) f(x) = ... et la tu dois trouver l'equation de l'asymptote (mais bon je dis pas que c'est faux vu que j'ai pas le trop le temps de tout lire..
bonjour,
oui j'ai tracé la courbe
merci pour ce rappel:
lim f(x)=0, alors la droite d'équation y=0 est une asymptote horizontale à la courbe C en +∞
x→+∞
mais pourquoi on me demande la position de C par rapport à son asymptote en +∞?
Et pourquoi on te demanderait pas la position de l'asymptote par rapport à la courbe ? Tu sais les sujets demandent pas toujours des choses qui ont de l'intérêt...
Pour la 2) a), regarde la conclusion à laquelle tu aboutis...
et regarde la conclusion à laquelle il faudrait aboutir...
Comment pourrais-tu adapter ce que tu as fait pour arriver à une meilleure conclusion ?
L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]
lol ^^
je pensais qu'on le demandait que pour les asymptotes obliques, c'est pour ça que je me suis entêtée à en trouver une même si ça me semblait incohérent.
est ce que mon premier post sur la position relative de l'asymptote est bon?
2.a)
je pense que je dois étudier d'abord lorsque la fonction est croissante et étudier ensuite lorsqu'elle est décroissante pour trouver ses deux solutions, non?
Pour la 1), c'est en fait très étrange, parce qu'en étudiant la mauvaise fonction, tu arrives au bon résultat... Quelle fonction aurais-tu dû étudier ?
Pour la 2)a), oui mais quelle fonction ? Est-ce que l'étude de f est vraiment si intéressante ?
L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]
ah oui l'équation de l'asymptote est y=0 où avais-je la tête
donc je fais f(x)-0,
------------------------------------------
x | -∞ 0 +∞
-------------------------------------------
f(x)|C est en dessous 0 C est au dessus
2) Oulala excuse moi j'ai regardé la ligne du dessous
j'étudie lesigne de f(x)-x=0 non?
Oui, ça a l'air bon pour la courbe. Effectivement, ce n'est pas sûr que ça te serve pour après, mais perso, je trouve ça intéressant comme info A toi de me dire pourquoi (en particulier, imagine la forme de ta courbe, et vois si ça concorde avec les variations de f)
Pour le 2, c'est bien ça : f(x) = x ⇔ f(x) - x = 0
Donc tu n'as plus qu'à étudier le signe de g(x) = f(x) - x ou bien "déduire des choses intéressantes" sur le signe de g(x)...
Bonjour ,
pour la 1) tout va bien,merci
2a) ça correspond au signe de la 1) à savoir le signe de le courbe et de l'asymptote , qui corrspond à l'axe des abscisses
les solutions des équations f(x)=0 représentent les abscisses des points d'intersections entre la courbe c et le droite y=0
S={-0.5;
la =deuxième dans l'intervale [1; 5/4] il n'y en a pas ?
Au temps pour moi pour la 1) (signe de f(x)-0 et position asymptote), j'ai lu trop vite...
Pour la 2) on ne te parle plus de la droite d'équation y=0 d'ailleurs ? Relis ton énoncé attentivement et ton message 22h38 ("f(x) - x = 0"), tu avais l'air sur la bonne voie.
1) Ok, f'(x) s'annule bien en 1/2
2) Heu oui, il y a un problème : tu ne peux faire ton tableau de signes de cette façon que si g'(x) est sous une forme factorisée. Là on a quelque chose du genre :
g'(x) = A(x) - 1 donc ce n'est pas factorisé...
factorisé, je veux plutôt ça : g'(x) = B(x) * C(x)
Si tu es à côté de tes pompes c'est peut-être signe de devoir se reposer !
merci^^
je veux bien me reposer mes exo de maths m'appelle (la rentrée est dans une semaine et il me reste 6 exo!! et ils sont ramassés)
ah oui , c'est vrai :
e-x(-2x+1+ex)
Étourderie, quand tu nous tiens...
Si tu développes ta factorisation, tu n'obtiens pas -1 mais +1...
Et comment fais-tu pour trouver le signe de -2x+1+ex ? Es-tu sure que ça ne s'annule qu'une seule fois sur IR ?
ah oui , et sur ma feuille j'ai marqué -ex
pour trouver le signe je regarde sur ma calculette
elle doit s'annuler deux fois vu l'énoncé!
mais là elle ne s'annule quand 0
Je n'ai pas dit qu'elle s'annulait deux fois
IR --> IR
x ---> -2x+1-ex est une fonction croissante, décroissante (ou rien du tout) sur IR selon toi ?
Et je te laisse le soin de démontrer ça proprement demain matin !
Tableau de signes : le résultat est bon.
Comment fais-tu pour trouver le signe de -2x + 1 - ex ?
Je ne vois toujours aucune justification Allez, ce n'est pas bien difficile
La fonction g(x) admet deux solutions
Je ne savais pas qu'une fonction admettait des solutions... C'est nouveau ?
-2x +1 -ex est décroissante, elle est au dessus de 0 dans ]-∞; 0] et en dessous dans [0;+∞[
je me suis mal exprimée
les solutions de l'équation f(x)=0 représentent les abscisses des points d'intersections entre la courbe c et le droite y=0
S={-0.67; 1.07}
Très bien, -2x + 1 - ex est bien décroissante sur IR, mais comment tu sais ça ? Allez, ce n'est pas long, tu as deux méthodes pour me trouver ça.
Et effectivement, après, quand une fonction est strictement décroissante sur IR et qu'elle vaut 0 pour un certain x, alors ce sera positif avant le certain x, et négatif après.
Heu, on ne te parle pas de C et de la droite d'équation y = 0 mais uniquement de f(x) = x pour le moment...
Disons que tu as trouvé une solution évidente (x = ...)
Si en plus c'est strictement décroissant sur tout IR, alors c'est l'unique solution.
Comment fais-tu pour trouver qu'une fonction est décroissante (sens de variation) ?
Je ne connais pas cette façon de faire... sauf si c'est quelque chose du type ax + b mais c'est signe de -a avant et signe de a après...
Soit h : IR --> IR
h(x) = -2x + 1 - ex
h est dérivable sur IR
h'(x) = ...
Pour tout x, h'(x) ... 0 (inférieur ? supérieur ?)
Donc h est décroissante sur IR
Mais si, tu connais cette méthode, c'est ce que tu fais quand on te demande de dresser les variations d'une fonction.
Seulement là, c'est une petite partie d'une fonction plus grande (mais également une fonction) et on ne te demande pas explicitement de le faire dans l'exercice.
Tu pouvais également dire que :
x --> -2x est décroissante
exponentielle est croissante donc x --> -ex est décroissante
Et si 2 fonctions sont décroissantes (x --> -2x et x --> -ex), la somme des deux est décroissante. Car si je prends f(x) et g(x) décroissantes, alors
a < b ⇒ f(a) > f(b) et g(a) > g(b)
a < b ⇒ f(a) + g(a) > f(b) + g(b)
a < b ⇒ (f+g)(a) > (f+g)(b)
c'est-à-dire (f + g) décroissante...
D'où h(x) = -2x + 1 -ex décroissante (le + 1 ne change pas les variations évidemment)
Revenons maintenant à :
f(x) = x admet 2 solutions dont α ∈[1; 5/4]
Oui, mais qui te dit que par exemple : g(x) n'est pas tout le temps strictement positive (avec un maximum de 1 pour x=0) ? dans ce cas, elle ne passe jamais par 0 ? Idem si elle est strictement positive au moins d'un des deux côtés (avant x=0 ou après), ça ne te donne qu'une solution ?
Dans ton tableau de variations de 11:34, tu mets -∞ comme limites quand x tend vers ±∞. Comment tu as trouvé ça ?
