Trouver un nombre complexe
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Zorro dernière édition par
Bonjour,
Je suis tombée sur un exo que je n'ai pas su résoudre.
Trouver la forme algébrique de z tel que zˉ,+,∣z∣,=,6,+,2i\bar {z},+, |z|,=,6,+,2izˉ,+,∣z∣,=,6,+,2i
J'ai posé z = x + iy et on arrive facilement à y = -2
Mais la suite se complique : trouver x tel que x,+,,x2+4,,=,6x,+, \sqrt{,x^2+4,},=,6x,+,,x2+4,,=,6
Changement de variable : je tourne en rond !
Etude de la fonction f définie par
f(x),=,x,+,,x2+4,,−,6f(x),=, x,+, \sqrt{,x^2+4,},-,6f(x),=,x,+,,x2+4,,−,6 :
f est croissante sur mathbbRmathbb{R}mathbbR et l'équation f(x) = 0 n'a qu'une solution comprise entre 2,6 et 2,7 ... mais bon je ne trouve pas la valeur exacte .
Merci pour un début de piste que je n'ai pas vue !
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Mmathtous dernière édition par
Bonjour,
Si on isole, la racine :
√(x²+4) = 6-x
On peut éléver au carré, on trouve x = 8/3 qu'il faut évidemment vérifier.
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Zorro dernière édition par
Bon sang ! mais c'est bien sur !
Quand on ne veut pas voir , on ne voit rien !
Un grand merci , très grand merci ! Cela m'énervait de ne pas trouver.
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Zorro dernière édition par
Alors pour ceux qui voudraient la solution démontrée :
l'équation x,+,,x2+4,,=,6x,+, \sqrt{,x^2+4,},=,6x,+,,x2+4,,=,6 est équivalente à
,x2+4,,=,6,−,x\sqrt{,x^2+4,},=,6,-,x,x2+4,,=,6,−,x avec x ≤ 6
ce qui est équivalent à ,x2,+,4,=,(6,−,x)2,x^2,+,4,=,(6,-,x)^2,x2,+,4,=,(6,−,x)2
soit ,x2,+,4,=,36,−,12x,+,x2,x^2,+,4,=,36,-,12x,+,x^2,x2,+,4,=,36,−,12x,+,x2
Qui a bien x,=,,8,3x,=,\frac{,8,}{3}x,=,3,8, comme solution et ,,8,3,\frac{,8,}{3},3,8, est bien un nombre inférieur à 6 donc
z,=,,8,3,−,2iz,=,\frac{,8,}{3},-,2iz,=,3,8,,−,2i