Démontrer le théorème de Héron

Bonjour a tous! Je suis nouveau sur ce forum et j'ai un problème en rapport avec un DM ou il s'agit de démontrer le théorème de Héron. N'étant pas vraiment doué pour les maths j'apprécierais beaucoup que quelqu'un me mette sur la voie!
Voila l'énoncé:

ABC un triangle et S son aire. On pose a=BC, b=AC, c=AB et l'angle BAC=Â.
On note p le demi-périmetre de ABC.

Démontrer que cosÂ= (b²+c²-a²)/2bc
Bon ça j'ai réussi sans problème en utilisant le théorème d'Al-Kashi. C'est apres que ça se gatte:
En déduire que:
sin²Â= ((a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b))/4b²c²

J'ai beau chercher je ne vois pas...

3.a) Démontrer que:
p-a >0, p-b>0, p-c>0.
Meme chose je ne vois pas vraiment comment faire.

3.b) Démontrer que:
sin²Â= (4p(p-a)(p-b)(p-c))/b²*c²

3.c) Démontrer que:
S= Rac(p-(p-a)(p-b)(p-c)) (<= Théorème de Héron si je ne me trompe pas)

Voila les questions 4 et 5 correspondaient a des applications directes de la formule démontrée en 3.c) et j'ai donc pu les faire sans probleme.
Merci d'avance a ceux qui voudront bien me guider.

salut

j'ai fait un doc là-dessus avec une approche légèrement différente (voir dans les cours de 1re S).

pour ta question
Citation
2) En déduire que:
sin²Â= ((a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b))/4b²c²
as-tu essayé sin² A = 1 - cos² A ?

pour ta question 3
Citation
3.a) Démontrer que:
p-a >0, p-b>0, p-c>0.
regarde p - a = (a + b + c)/2 - 2a/2 et pense à l'inégalité triangulaire.

pour la 3b) ce ne sont que des manipulations à partir de ((a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b))/4b²c² en faisant apparaître (a+b+c)/2 de façon un peu "aritificielle".

Merci beaucoup pour ton aide Zauctor mais je n'y arrive meme pas avec ça :frowning2:
Je n'arrive meme pas a appliquer la formule sin²A = 1-cos²A au calcul... Au dénominateur j'ai bien: 4b²*c² (pas compliqué ça) mais au numérateur je me perds completement

bon attends je regarde de plus près

$sin⁡2a=1−cos⁡2a=1−((b2+c2−a2)2bc)2\sin^2 a = 1 - \cos^2 a = 1 - \left(\frac{(b^2 + c^2 - a^2)}{2bc}\right)^2$

d'où

$sin⁡2a=1−cos⁡2a=4b2c2−(b2+c2−a2)24b2c2\sin^2 a = 1 - \cos^2 a = \frac{4b^2c^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2}{4b^2c^2}$

au numérateur tu as une différence de deux carrés u² - v² que tu peux factoriser ; je pense que ça avancera.

Oui je pensais bien qu'il fallait partir dans une factorisation la je tombe sur:
sin²A= ((2bc+b²+c²-a²)(2bc-b²-c²+a²))/4b²c²
Et la... Je pense qu'il faut factoriser de nouveau mais je ne vois pas comment.
Désolé de te déranger mais j'ai vraiment envie de comprendre ce que je fait plutot que de recopier betement la solution .

je pense que 2bc + b² + c² - a² contient le développement du carré d'une somme (u + v)²

de même 2bc - b² - c² + a² = a² - (b² + c² - 2bc) contient le développement du carré d'une différence (u - v)².

essaie voir ça.

ps : tu ne me déranges pas, je suis un peu là pour ça.

Ok maintenant j'ai :
((b+c)²-a²)*((b-c)²-a²)
Et je ne vois toujours pas comment continuer désolé...

maintenant, chaque facteur est à nouveau une différence de deux carrés u² - v², et ... ça roule !

Ah bah c'est bon ça y est! On peut dire que j'ai eu du mal! Je ne savais meme pas qu'on pouvait changer comme ça l'ordre des facteurs dans un calcul en fait! Merci beaucoup Zauctore tu m'apprends plein de choses en plus de m'aider pour l'exercice

tant mieux !

je me déconnecte
@+

bonne soirée et merci encore!