Suite de Fibonacci et nombre d'or

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	Suite de Fibonacci et nombre d'or

Myakumo	Envoyé: 21.04.2009, 17:51
enregistré depuis: avril. 2009 Messages: 9 Status: hors ligne dernière visite: 22.04.09	Bonjour, J'aurai besoin d'aide sur un exo sur la suite de fibonacci... Alors la suite est définie par U_n+2 = U_n+1 + U_n Et on me donne une autre suite V_n = U_n+1/U_n J'ai déja montré montré que V_n+1 = 1+1/V_n que φ=(1+√5)/2 vérifiait la relation φ²-φ=1 et que V_n+1-φ= (φ-1)(φ-V_n)/V_n On me demande de déduire que \|V_n+1-φ\| ≤ 0,7\|V_n-φ\| Merci d'avance... modifié par : Myakumo, 21 Avr 2009 - 18:02


mathtous	Envoyé: 21.04.2009, 17:54
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 6308 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Bonjour, Y a-t-il un lien entre Un et Vn ? Qu'est-ce que n' ? Peux-tu vérifier ton énoncé ? Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.

Myakumo	Envoyé: 21.04.2009, 17:56
enregistré depuis: avril. 2009 Messages: 9 Status: hors ligne dernière visite: 22.04.09	Oui, excuse moi.. J'ai mis des V à la place des U pour Vn... Et le ' à coté du n était une virgule... Bon je pense que ça doit être bon maintenant

mathtous	Envoyé: 21.04.2009, 18:01
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 6308 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	es-tu sûr que φ² + φ = 1 ? Ce n'est pas ce que je trouve. Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.

Myakumo	Envoyé: 21.04.2009, 18:03
enregistré depuis: avril. 2009 Messages: 9 Status: hors ligne dernière visite: 22.04.09	Faute d'inattention encore une fois... Décidément...

mathtous	Envoyé: 21.04.2009, 18:10
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 6308 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Vn+1-φ= (φ-1)(φ-Vn)/Vn Peux-tu me détailler ce calcul ? modifié par : mathtous, 21 Avr 2009 - 18:13 Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.

Myakumo	Envoyé: 21.04.2009, 18:16
enregistré depuis: avril. 2009 Messages: 9 Status: hors ligne dernière visite: 22.04.09	Vn+1 - φ = 1 + 1/Vn - φ = φ² - φ + (φ²-φ)/Vn - φ = (Vn (φ² - φ) + φ² - φ - φ.Vn) / Vn = (Vn.φ² - Vn.φ + φ² - φ - φ.Vn) / Vn = (-Vn.φ + φ² - φ + Vn(φ² - φ)) / Vn = (-Vn.φ + φ² - φ + Vn) / Vn = (φ-1)(φ-Vn) / Vn modifié par : Myakumo, 21 Avr 2009 - 18:24

mathtous	Envoyé: 21.04.2009, 18:28
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 6308 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	OK Et pour l'inégalité demandée : c'est pour n'importe quel rang n ? Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.

Myakumo	Envoyé: 21.04.2009, 18:31
enregistré depuis: avril. 2009 Messages: 9 Status: hors ligne dernière visite: 22.04.09	A priori oui, on demande de déduire l'inégalité à partir de Vn+1-φ= (φ-1)(φ-Vn)/Vn qui est valable pour tout n... modifié par : Myakumo, 21 Avr 2009 - 18:32

mathtous	Envoyé: 21.04.2009, 18:37
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 6308 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	C'est φ - 1 qui est inférieur à 0,7 Mais Vn intervient dans le résultat , et on n'a aucun renseignement sur lui. N'est-il pas dit quelque part que Vn est positif , ou Un ? Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.

Myakumo	Envoyé: 21.04.2009, 18:40
enregistré depuis: avril. 2009 Messages: 9 Status: hors ligne dernière visite: 22.04.09	Bah U₀ = 1 et U₁ = 1... donc Un est positif.. Et Vn l'est aussi donc...

mathtous	Envoyé: 21.04.2009, 18:42
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 6308 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Oui , mais ça ne suffit pas. Vn+1 = 1 + 1/Vn , et Vn >0 , donc Vn > 1 dès que n > 0. Dans ce cas , tu dois pouvoir parvenir au résultat. Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.

Myakumo	Envoyé: 21.04.2009, 18:45
enregistré depuis: avril. 2009 Messages: 9 Status: hors ligne dernière visite: 22.04.09	C'est bien le cas ici... Enfin il me semble...

mathtous	Envoyé: 21.04.2009, 18:53
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 6308 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Et bien , tu ne peux pas continuer ? V_n+1 - φ = (φ -1)(φ - V_n)/V_n Donc : \|V_n+1 - φ\| = (φ -1)\|φ - V_n\|/V_n \|V_n+1 - φ\| ≤ 0,7 \|φ - V_n\|/v_n Et puisque V_n > 1 , je te laisse achever. A+ Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.

Myakumo	Envoyé: 21.04.2009, 19:10
enregistré depuis: avril. 2009 Messages: 9 Status: hors ligne dernière visite: 22.04.09	Oulà, désolé mais je ne te suis plus... Pourquoi seul φ - Vn est en valeur absolue ? Et j'ai pas compris en quoi Vn > 1 permettait de conclure...

mathtous	Envoyé: 22.04.2009, 10:36
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 6308 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Rebonjour, Tout est en valeur absolue , et pas seulement φ - Vn Simplement , je ne les ai pas écrites car φ>1 , donc \|φ - 1\| = (φ - 1) et Vn > 0 , donc \|Vn\| = Vn On a donc : \|Vn+1 - φ\| = (φ -1)\|φ - Vn\|/Vn Mais φ-1 = \|φ-1\| < 0.7 ( φ≈1.618 ) Donc \|Vn+1 - φ\|< 0.7 \|φ - Vn\|/Vn Or Vn >1 , donc 1/Vn < 1 ( Vn est positif ), donc \|Vn+1 - φ\|< 0.7 \|φ - Vn\| Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.

Myakumo	Envoyé: 22.04.2009, 11:20
enregistré depuis: avril. 2009 Messages: 9 Status: hors ligne dernière visite: 22.04.09	Ok d'accord...... Et bien merci encore pour ton aide..

mathtous	Envoyé: 22.04.2009, 11:21
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 6308 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	De rien. Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.