Exercice de Spécialité: Chiffrement de Hill.

Bonjour à tous, je dois faire cet exercice qui me pose beaucoup de soucis pour la rentrée, ce serait gentil de m'aider car je n'arrive même pas à démarrer ...

Voici l'énoncé :

A/ 1- Soit a, b, a' et b' quatre entiers naturels vérifiant la propriété suivante : (ab' - a'b) et 26 sont premiers entre eux.
On considére le systéme (S) suivant : (ax+by) ≡ c[26]
et (a'x+b'y) ≡ c'[26]

Démontrer que l'équation z(ab' - a'b) ≡ 1(26] admet une unique solution z entière telle que 0 ≤ z ≤ 25

2- Démontrer que le système (S) admet un unique couple (x;y) d'entiers relatifs solution tel que 0 ≤ x ≤ 25 et 0 ≤ y ≤ 25. Exprimer ce couple en fonction de z, a, b, a' et b'.

Il y a une partie B/ mais je souhaite pour l'instant solicitter votre aide pour cette partie puis j'essayerai ensuite de faire la seconde partie seule. En espérant que vous pourrez m'apporter votre aide.

A bientot

salut

Citation

(ab' - a'b) et 26 sont premiers entre eux.

Démontrer que l'équation z(ab' - a'b) ≡ 1(26] admet une unique solution z entière telle que 0 ≤ z ≤ 25

tout est là ! comment peux-tu traduire la donnée en gras ?

Bonjour,
Un indice ? la propriété de B...

Avec Bezout, ils sont premiers entre eux donc il existe (x;y) ∈ Z² tels que:
(ab' - a'b)x + 26y = 1

C'est ca ?

Je vais essayer de m'en sortir avec ça, mais je vois pas comment arriver à des congruences en fait ...

Merci de votre aide

prends ton machin* modulo 26 : tu vois que x est l'inverse de (ab' - a'b). or tu peux toujours trouver un représentant de x compris entre 0 (ou 1 ?) et 25, modulo 26

c'est le z cherché.

: je parle de (ab' - a'b)x + 26y = 1.

Je n'ai pas compris ... :frowning2:

(ab' - a'b)x + 26y = 1 modulo 26, ça donne quoi ?

(ab' - a'b)x + 26y ≡ 1 [26] ??

et modulo 26, tout multiple de 26 vaut ... ?