découvrir d'autres fonctions .

Bonjour !
J'ai un petit problème concernant un exercice sur les fonctions, pour un DM à rendre pour vendredi.
J'aurais besoin de votre aide pour deux questions, Merci beaucoup
Voici l'énoncé complet:

On définit la fonction f par f(x) = √x

Pour quelles valeurs de x, la fonction f est - elle définie ?
Je n'ai pas eu de problème pour cette question, je l'ai donc faite.
Etudier la parité de la fonction f.
Nous n'avons pas traiter ça en classe. Mais néanmoins dans mon livre, cela nous est expliquée. Par conséquent, je ne pense pas avoir eu de problème pour cette question.
Montrer que, pour tous réels a et b, on a :

√a - √b = ( a - b ) / (√a + √b)

Pour cette question, j'ai du mal. :frowning2:

En déduire que :
Si 0 ≤ a ≤ b, alors f(a) - f(b) ≤ 0
Ainsi que pour celle ci :frowning2:
Donner le tableau des variations de la fonctions f
Compléter le tableau de valeurs suivant:

x 0 1 2 4 6 9
f(x)

Je pense que ces deux dernières questions dépendent des deux questions auxquelles je n'ai pas réussi à répondre ... :frowning2:

J'espère pouvoir recevoir votre aide, merci beaucoup d'avance ...

Bonjour,
La question 3 concerne un quotient :
Q = U/V <=> U = QV , pour V ≠0
Donc , calcule QV , ici :
(√a - √b)*(√a + √b) = ?

(√a - √b)*(√a + √b) = a - b

car identité remarquable, exacte ?

Oui. , donc selon la définition du quotient que je t'ai rappelée plus haut , puisque (√a - √b)*(√a + √b) = a - b , alors:
√a - √b = ( a - b ) / (√a + √b)

Ah d'accord... J'ai compris ... Merci beaucoup.
Ensuite pour la 4) nous devons reprendre le "résultat" de cette question.
Mais que devons nous faire ?

Quel est le signe de √a + √b ?

√a + √b positif ?!

Oui , le dénominateur du quotient précédent est positif.
Donc le signe de ce quotient dépend seulement du signe de son numérateur.
Si 0 ≤ a ≤ b ,
alors a - b ???

Si 0 ≤ a ≤ b
alors a - b < 0 , négatif

D'accord , donc quel est le signe du quotient ( a - b ) / (√a + √b) ?

Donc le quotient (a - b) / (√a + √b) est négatif
d'où f(a) - f(b) ≤ 0

C'est cela.
Si 0 ≤ a ≤ b , alors f(a) ≤ f(b) : la fonction f est donc décroissante sur l'intervalle [0 ; +∞[.
Tu dois pouvoir faire la suite seul ?

Il nous demande de faire un tableau de variation, mais ce n'est que sur l'intervalle [0 ; +∞ [ ?

Citation

Pour quelles valeurs de x, la fonction f est - elle définie ?
Je n'ai pas eu de problème pour cette question, je l'ai donc faite.

Quelle était ta réponse ?
Et pour la question 2 ( parité ) ? es-tu sûr de l'énoncé ?

J'ai répondu : x existe ssi : x ≥0

car le nb sous la racine est un nombre positif ou nul .

Il faut vérifier pour cette question que l'ensemble de définition de la fonction f(x) = √x soit symétrique / $mathbb{R}$

puis calculer f(-x) si f(-x) = f(x) alors f est paire
Ou si f(-x) = -f(x) alors f est impaire .

C'est ce que j'ai compris mais après je n'ai pas bien compris comment faire ... :frowning2:

L'ensemble de définition de f est donc [0 ; +∞[ puisque x doit être positif ou nul. Tu as correctement répondu.
La question sur la parité n'a donc aucun sens puisque si x est positif , tu ne peux pas calculer f(-x) !
C'est pourquoi je t'ai demandé de vérifier ton énoncé , et notamment à quoi est égal f(x).

f(x) = √x
par conséquent f(-x) n'existe pas ...
Donc nous ne pouvons pas répondre à la question n°2 ?!
Ou plutôt dire que cela est impossible ... Non ?

La question ne se pose tout simplement pas ici.
Il n'y a pas lieu d'étudier la parité pour cette fonction.
Mais évite de parler d'impossibilité :
on a réponduci-dessus.

Ah d'accord merci de la rectification
De plus quelquechose me gène concernant la question n°5:
L'énoncé met : "Donner le tableau DES variationS de la fonction f"
Néanmoins nous venons de dire que cette fonction était décroissante sur [0 ; +∞ [ et qu'elle était définie sur [0 ; +∞ [ ...

Il n'y a donc qu'une seule varation à faire dans ce tableau de variation non ?

C'est l'usage, tout simplement : on dit
lesvariations d'une fonction pour indiquer sur quel intervalle elle est croissante, sur quel autre elle est décroissante , ..., même s'il n'y a qu'un seul intervalle.

Attention , rectificatif:
J'ai dit que la fonction était décroissante : c'est un lapsus :
a ≤ b => f(a) ≤ f(b) : la fonction est
croissantesur [0; +∞[ : ça veut dire que les images sont rangées dans le même ordre que les nombres ( a et b ).
D'ailleurs , en calculant les images demandées , tu dois t'en apercevoir.

Oui plus les nombres sont grands pour les images sont grandes
C'est bien la déf d'une fonction dite croissante