Limite de suite - Aire triangle et courbe

Bonjour !

J'ai trois courbes représentatives des fonctions suivantes :

$c1:y=1xc_1 : y = \frac{1}{\sqrt{x}}$
$c2:y=1xc_2 : y = \frac{1}{x}$
$c3:y=1xxc_3 : y = \frac{1}{x\sqrt{x}}$

A(1;1) ; n≥2 T(n;0) et les points M, N et P de $c_1 ; c_2$ et $c_3$ ont pour abscisse n.
On note $a_n ; b_n$ et $c_n$ les aires ATM, ATN et ATP.

Je dois tout d'abord montrer que ces triangles ont tous une hauteur commune, puis préciser quelles sont les bases correspondantes.

Pour cela j'avais commencé a répondre par :

Le point T et les points M,N et P ont la même abscisse n, donc les points M,N et P sont réciproquement placés sur la droite perpendiculaire à l'axe des abscisses passant par T, sur les graphiques 1, 2 et 3, d'ou la hauteur commune à ces trois triangles, aux bases respectives de [MT), [TN) et [TP).

J'ai écrit ca comme je comprenais, et pour la notation d'une base, je sais pas si on peut noter comme une demie droite.
Dans la suite de l'exercice, on parle de :
limite de la hauteur commune quand n tend vers +∞;
limite des bases correspondantes quand n tend vers +∞;
limite de suite $a_n) (b_n)$ et $c_n)$ ;
expression de $a_n ; b_n$ et $c_n$ en fonction de n
puis limite de ces trois suites.

Merci d'avance pour votre aide !

Bonjour,
Le mot "base" , comme souvent , peut prendre plusieurs sens selon le contexte :
il peut s'agir d'un segment , tel que [MT] , ou de la longueur de ce segment : MT.
La hauteur commune des triangles est la distance du point A à la droite (MT) : c'est n-1.

Voici les courbes

Désolé , je ne vois rien.

D'accord, je comprends que ce soit n-1 car n est l'abscisse de M et de T, et -1 car le point a a pour abscisse 1, d'ou h=n-1.

Mon premier raisonnement est il juste ? Dois je simplement finir en disant que cette hauteur commune est n-1 ?

Quand on me parle de bases correspondantes, je ne saisis pas si on me parle de longeur, de droite, demie droite ou de segment !

Ah bon pourtant moi oui je le vois dans le post.

voici le lien sinon : http://pics.imagup.com/02/1238953064_courbes.jpg

Ton raisonnement est juste.
Citation
Le mot "base" , comme souvent , peut prendre plusieurs sens selon le contexte :
il peut s'agir d'un segment , tel que [MT] , ou de la longueur de ce segment : MT.

Ici , il s'agit plutôt de longueurs car on te parle ensuite d'aires.

D'accord.

Mon premier raisonnement est il juste ? Dois je simplement finir en disant que cette hauteur commune est n-1 ? Et préciser les bases correspondantes, je fais comment pour les exprimer ?

La base du premier triangle est la longueur MT : elle vaut $y_M$ - $y_T$ = 1/√n
(J'imagine que x , et bien sûr n , sont positifs ? )

ok. Oui il est précisé que n ≥2 soit x aussi.

J'ai donc les bases correspondantes des triangles ATM, ATN et ATP qui sont les longueurs MT, NT et PT. Elles valent :
$ym−yt=1n\ y_m - y_t = \frac{1}{\sqrt{n}}$
$yn−yt=1ny_n - y_t = \frac{1}{n}$
$ym−yt=1nny_m - y_t = \frac{1}{n\sqrt{n}}$

Les points M, N, P et T on la même abscisse, et A(1,1). La hauteur commune a ces triangles est la hauteur h=n-1.

Oui.
Tu peux donc donner les limites de la hauteur et des bases.
Ensuite , calculant les aires , tu pourras donner leurs limites.

Ok
Je passe a la limite de la hauteur :

lim n-1 = +∞
n→+∞
n≥2

Limite des bases correspondantes :

lim $\fra{1}{\sqrt{n}}$ = 0
n→+∞
n≥2

lim $\fra{1}{n}$ = 0
n→+∞
n≥2

lim $\fra{1}{n\sqrt{n}}$ = 0
n→+∞
n≥2

Ensuite je ne comprends pas quelque chose :

Les questions suivantes sont, dans cet ordre :

Quelle est la limite des bases correspondantes quand n tend vers +∞ ? Peut-on en déduire les limites des suites $a_n)$ ; $b_n)$ et $c_n)$ ?
Exprimer $a_n$ ; $b_n$ et $c_n$ en fonction de n et en déduire les limites de ces trois suites.

---> Pourquoi me demande t on si l'on peut déduire les limites des suites ?

Inutile d'écrire à chaque fois n≥2 , car s'il tend vers +∞ , il sera forcément supérieur à 2.
Pour obtenir les aires , tu multiplies la base par la hauteur correspondante , et tu n'oublies pas de diviser par 2.
Or , la hauteur tendant vers ∞ et la base tendant vers 0 , tu ne peux donc
rienen déduire concernant les limites des aires : on a une forme indéterminée : 0*∞ .
Pour lever cette indétermination , il faut donc calculer les aires et y regarder de plus près.

Ok jetais pas sur pour le n≥2.
J'avais vu la forme indéterminée.

Donc j'ai, en fonction de n, les suites suivantes :

$a_n$ = $\frac {\frac{n-1}{\sqrt{n}} }{2} = \frac {n-1}{2\sqrt{n}}$

$b_n$ = $\frac {\frac{n-1}{n} }{2} = \frac {n-1}{2n}$

$c_n$ = $\frac {\frac{n-1}{n\sqrt{n}} }{2} = \frac {n-1}{2n\sqrt{n}}$

Oui , il faut maintenant chercher leurs limites lorsque x →+∞
En ce qui concerne le "n≥2" , cela est sans importance : tu peux le mettre ou ne pas le mettre.

Vous dites de chercher leurs limites lorsque x tend vers +∞ car c'est un cas de suites définies par des fonctions ?

Je trouve cette limite lorsque x→+∞ puis j'écris la limite de la suite quand n→+∞ c'est ça ?

Non , c'est une faute de frappe : je voulais dire lorsque n →+∞
Mais c'est sans importance : que ce soit x ou n , le raisonnement est le même .

ok bon alors j'ai :

lim
n→+∞ $n−12n\frac{n-1}{2\sqrt{n}}$ =

lim
n→+∞ $n\sqrt{n}$ x $n−12n\frac{n-1}{2n}$ = +∞

lim
n→+∞ $n−12n\frac{n-1}{2n}$ =

lim
n→+∞ n x $1−1n2\frac {1-\frac{1}{n} }{2}$ = ???

lim
n→+∞ $n−12nn\frac{n-1}{2n\sqrt{n}}$ = ???

Je comprends pas trop de ce que je fais, j'arrive pas a trouver les limites de ces suites

Le premier résultat est juste , mais c'est peut-être en effet un hasard.
Dans la seconde , tu as perdu un n au dénominateur.

Je te montre pour la première :
(n-1)/2√n = n(1 - 1/n)/2√n : j'ai mis n en facteur au numérateur
= (n/2√n)(1 - 1/n)
= (√n/2)(1 - 1/n)
Lorsque n → +∞ , la parenthèse tend vers 1 car 1/n tend vers 0
Donc la limite est celle de √n/2 qui tend évidemment vers +∞ avec n.

Il y avait des "n" au numérateur ( initial ) et des "√n" au dénominateur : concrètement , les "n" l'emportent sur les "√n" .

ok j'ai compris alors pour la deuxieme j'ai trouvé 1/2

et pour la troisieme il faut que je factorise par n√n ?

D'accord pour la seconde.
Pour la troisième , on factorise , on ne factorise pas "par" ...
Personnellement je factoriserais n au numérateur ( comme pour la première ) .

Ouuuh... ok pour l'utilisation du mot factoriser

Oui, donc je trouve +∞

Pas moi.
Il y a encore plus simple que de factoriser : utiliser le résultat de $b_n$ :
$c_n$ = (1/√ $n)*b_n$
Or , $b_n$ → 1/2 et 1/√n → 0 , donc $c_n$ → 0

Je comprends ce que j'ai fait :

la limite de 1-1/n = 1
et la limite de 2√n = +∞

donc "la limite de Cn est +∞" comme si c'était un produit. Donc non, la limite de Cn en +∞ est bien 0.

Mais j'aime bien votre solution aussi.

J'espère que tu as tout compris .
A+

Merci, c'est parfait. J'ai tout fini, à la prochaine

Au revoir.