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Toutes classes: Ecriture décimale illimitée d'un rationnel

 
Transmis par mathtous,
le Mardi 31 Mars 2009 : 21148 lectures.
Math-Fiche

L'écriture décimale illimitée d'un rationnel est périodique, et réciproquement. Cet article contient les explications, des exemples, ainsi que les démonstrations de cette propriété et de sa réciproque.



Ecriture décimale illimitée d’un rationnel

Presque tout le monde sait que = 0,66666…
Les points de suspension indiquent qu’il y a d’autres chiffres après les 6, et suggèrent que ces chiffres sont tous des 6, en nombre infini.
C'est effectivement le cas : l’écriture est indéfiniment périodique, sa plus petite période est ici constituée du nombre 6, sa longueur est donc 1.
Pour traduire cette périodicité, j’écrirai : = 0,[6]

Les nombres décimaux n’échappent pas à cette règle, tout en constituant un cas particulier, ainsi :
= 0,8 que l’on peut aussi écrire 0,80 ou 0,800 ou 0,8000… c’est-à-dire 0,8[0].


1) Partie directe

Théorème : Tout rationnel possède une écriture décimale illimitée périodique à partir d’un certain rang.

Démonstration

On se restreint aux rationnels positifs ; pour les négatifs, il suffit de placer le signe moins devant.

Rappelons qu’ un nombre rationnel est le quotient de deux nombres entiers (positifs dans le cas présent), de préférence premiers entre eux.

Soit un nombre rationnel positif (b ≠ 0).
Le quotient de a par b peut s’obtenir en effectuant la division dite « euclidienne » de a par b, mais en la poursuivant, si besoin, au-delà de la virgule.
A chaque étape, le reste sera strictement inférieur à b.
Si un reste est nul, on a l’habitude d’arrêter l’opération : le rationnel est décimal.
Mais rien n’empêche de la continuer : on aura alors systématiquement le chiffre 0 au quotient et 0 pour reste . On a bien une « écriture illimitée périodique » de période 1.
Exemple : = 1,75 = 1,75[0]

Si par contre aucun reste n’est nul, la division ne s’arrête pas mais puisque tous les restes sont inférieurs à b, on retombera tôt ou tard sur un reste déjà trouvé : à partir de ce moment, les chiffres au quotient et les restes vont se répéter à l’identique de ce qu’ils étaient lors du premier reste égal au reste trouvé. L’écriture est donc illimitée périodique.

Remarque 1 : la période n’a aucune raison d’apparaître dès le début. Par exemple : = 0,7[82] : on observe la partie périodique, de longueur 2 (82), et la partie non périodique (0,7).

Remarque 2 : tous les restes étant inférieurs à b, il y en a b différents , et b–1 différents et non nuls. Donc, la période sera constituée au maximum de b–1 chiffres, ou moins comme le montre l’exemple ci-dessus où la période n’a que 2 chiffres alors qu’elle aurait pu en avoir 197. Il peut aussi arriver que la période possède b–1 chiffres. Par exemple = 2,[142857] : la période est de longueur 6 = 7–1.


2) Réciproque

Théorème : Si l’écriture décimale illimitée d’un réel est périodique à partir d’un certain rang, alors ce réel est rationnel.

Démonstration
Soit x le nombre considéré ;
soit a sa partie non périodique : c’est un décimal donc un rationnel ;
soit b la période, k sa longueur et 10–n le premier rang où se situe son chiffre des unités.
Exemple , si x = 12,23[47], a = 12,23 ; b = 47 ; k = 2 ; n = 4.

On a donc
x = a + b.10–n + b.10–n–k + b.10–n–2k + b.10–n–3k + …
x = a + b.10–n.[ 1 + (10–k) + (10–k)2 + (10–k)3 + … ]
Dans le crochet, on reconnaît la somme des termes d'une suite géométrique, de raison 10–k, tous inférieurs à 1.
Cette somme est égale à

Donc et x est donc bien rationnel.

Exemple :
<img style="vertical-align:middle;" src="http://www.mathforu.com/cgi-bin/mimetex.cgi?x = 12,23[47] = 12,23 + 47 \times \frac{10^{2-4}}{10^2-1}
= \frac{1223}{100} + 47 \times \frac{10^{-2}}{99} = \frac{1223}{100} + \frac{47}{9900} ">
Après simplification,


3) Ecriture décimale illimitée « impropre » d’un décimal

Que se passe-t-il si la période est 9 ?
b = 9 et k =1 , donc on aura x = a + 9.101–n / (101 – 1) = a + 101–n : le résultat est décimal
Par exemple : 2,3[9] = 2,3 + 10 – 1 = 2,4

Ainsi , tout décimal est susceptible d’avoir deux écritures décimales illimitées :
son écriture « propre » et son écriture « impropre ».
2,4 = 2,4[0] : écriture usuelle , et 2,4 = 2,3[9] : écriture « impropre ».

Ainsi se trouve une explication , par exemple du fait que l’égalité 0,99999… = 1 soit valable. (L’explication selon laquelle la différence ne peut être constituée que de zéros est plus « parlante » mais moins rigoureuse).

Remarquons pour terminer que si la période est 9, le nombre est nécessairement décimal. Les rationnels non décimaux n’ont donc pas d’écriture « impropre ».

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