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| Toutes classes: Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit |
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Transmis par mathtous,
le Mardi 17 Mars 2009 : 3400 lectures. |
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Cette math-fiche explique comment l'on peut trouver deux nombres dont on connait la somme S et le produit P, mais sans passer par la résolution de l'équation du second degré x²-Sx+P=0.
Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit
La présente fiche a pour but d’apporter ma modeste contribution à l’excellent article proposé par Zauctore dans un sujet de 1ère S « résolution d'un système, trouver deux nombres dont la somme et le produit sont connus » .
Le problème se situe dans l’ensemble des nombres réels , car pour les entiers , les méthodes sont différentes .
Je distingue trois problèmes :
1) Trouver deux nombres (réels, historiquement positifs) connaissant leur somme S et leur produit P
2) Résoudre une équation du second degré .
3) « obtenir » une racine carrée.
La résolution du troisième problème est indispensable à celle des deux autres.
Mais il s’agit d’un problème que l’on sait résoudre depuis la plus haute Antiquité (Babyloniens, Euclide, etc).
Le problème N° 2 est résolu depuis Al Khawarizmi.
Le problème N° 1 est plus ancien : les Babyloniens savaient le résoudre.
En revanche , le lien existant entre les problèmes 1 et 2 (article de Zauctore) est plus récent (mais j’ignore de quand il date).
Voici comment les Babyloniens résolvaient le problème N° 1 :
Attention, la présentation est nécessairement anachronique (sinon seuls les spécialistes pourraient la comprendre). J'utilise l’écriture et les notations actuelles.
On cherche donc deux nombres x et y tels que x + y = S , et x.y = P
On peut toujours supposer que x est le plus grand (ils ne peuvent être égaux que si S² = 4P , auquel cas x = y = S / 2).
Soit d la demi-différence des deux nombres : d = (x-y) / 2
On a donc : x = S/2 + d et y = S/2 – d
D’où : P = [ S/2 + d ].[ S/2 – d ]
P = (S / 2)² - d² ( « identité remarquable » connue des Babyloniens )
Donc d² = (S / 2)² - P
Et d = √ [(S/2)² - P] , que savaient calculer les Babyloniens .
On a donc : x + y = S , et x – y = 2d
Et on est ainsi ramené à un autre problème connu : trouver deux nombres connaissant leur somme et leur différence.
Exemple : trouver deux nombres dont la somme vaut 17,4 et le produit vaut 36 .
On a donc S / 2 = 8,7 et donc d² = 8,7² - 36 = 75,69 – 36 = 39,69
Donc d = √ 39,69 = 6,3
Donc x = 8,7 + 6,3 = 15 et y = 8,7 – 6,3 = 2,4
Une variante à cette méthode consiste à utiliser « l’identité remarquable » (connue aussi des Grecs) :
(x+y)² - (x-y)² = 4xy
D’où (x-y)² = S² - 4P et donc x-y = √(S² - 4P)
On est à nouveau ramené à trouver deux nombres connaissant leur somme et leur différence .
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