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1ère: L'identification pour une fonction rationnelle



Transmis par Zorro, Actif Jeudi 20 Décembre 2007 : 6547 lectures.
Cette fiche explique la méthode d'identification dans le cas d'une fonction rationnelle, grâce à un exemple. Soit f la fonction définie par $2$ f(x) \,=\,\frac{ \,x^2 \,+ \,x \,- \,2 \,}{x+3}$ Il s'agit de montrer qu'on peut trouver 3 réels a,b et c tels que : $2$ f(x) \,=\,ax\,+\,b\,+ \,\frac{c}{x+3}$ On part de $2$ax\,+\,b\,+ \,\frac{c}{x+3}$ : on commence par mettre les fractions au même dénominateur, puis on regroupe les termes de même degré. $2$ax\,+\,b\,+ \,\frac{c}{x+3} \,=\, \frac{\, (ax\, +\, b)(x+3) + c\, }{x\, +\, 3}\, =\, \frac{\, ax^2\, +\, 3ax\, +\, bx\, +\, 3b\, +\, c\, }{x\, +\, 3}\,=\, \frac{\, ax^2\, +\, (3a+b)x\, + \, (3b+c)\, }{x+3}$ Il faut donc que l'égalité $2$\frac{ \,x^2 \,+ \,x \,- \,2 \,}{x+3} \,=\,\frac{\, ax^2\, +\, (3a+b)x\, + \, (3b+c)\, }{x+3}$ soit vraie pour tout x du domaine de définition de f. Or 2 fractions ayant le même dénominateur sont égales si elles ont le même numérateur. Il faut donc que l'égalité $2$ax^2\, +\, (3a+b)x\, + \, (3b+c)\,=\,x^2\,+\,x\,-\,2$ soit vraie pour tout x du domaine de définition de f. Il faut donc que les coefficients de même degré des 2 polynômes soient égaux deux à deux, c'est à dire : $2$\left\{a\,=\,1\\<br /> 3a\,+\,b\, = \,1\\<br /> 3b \,+\, c\, =\, -2 \right$ Il ne reste plus qu'à résoudre ce système pour trouver a, b et c $2$\left\{a\,=\,1 \\<br /> b\,=\,-2 \\<br /> c\,=\,4$ Donc $2$f(x) \,=\,x\,-\,2\,+ \,\frac{4}{x+3}$

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