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1ère: Factorisation d'un polynôme par identification

 
Transmis par Zorro,
le Jeudi 20 Décembre 2007 : 58964 lectures.
Math-Fiche

Cette fiche explique la méthode de factorisation d'un polynôme par identification. Un exemple accessible dès la 1ère S est suivi d'une généralisation pour un polynôme de degré n.

Explication de la méthode d'identification par un exemple (niveau 1ère S)

Il s'agit de trouver 3 réels a, b et c tels que pour tout réel x :


Pour déterminer les 3 réels a, b, c on commence par développer le membre de droite :


et on regroupe les termes de même degré :


Ensuite a lieu l'identification. Pour que l'égalité :

soit vraie pour tout x de , il faut que les coefficients de même degré de chaques polynômes soient égaux deux à deux, c'est-à dire :



Et il ne reste plus qu'à résoudre ce système pour trouver a , b et c qui conviennent. On trouve


On conclut :



Généralisation (pour ceux qui aiment ça ...)

Soit P(x) un polynôme de degré n


et soit x0 une racine de ce polynôme, alors P(x) peut s'écrire sous la forme :
avec Q(x) un polynôme de degré n-1.

On part de :

(les bi sont les coefficents de Q(x) que nous cherchons)

que l'on développe, et on regroupe les termes de même degré :


D'où le système :


Ainsi en résolvant le système on trouve bn-1, bn-2, ..., b1, b0 ce qui nous permet de factoriser le polynôme P(x).

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