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| 1ère: Factorisation d'un polynôme par identification |
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Transmis par Zorro,
le Jeudi 20 Décembre 2007 : 16268 lectures. |
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Cette fiche explique la méthode de factorisation d'un polynôme par identification. Un exemple accessible dès la 1ère S est suivi d'une généralisation pour un polynôme de degré n.
Explication de la méthode d'identification par un exemple (niveau 1ère S)
Il s'agit de trouver 3 réels a, b et c tels que pour tout réel x :
 \, (ax^2\,+\,bx\,+\,c))
Pour déterminer les 3 réels a, b, c on commence par développer le membre de droite :
 \, (ax^2\,+\,bx\,+\,c) \, = \,ax^3\,+\,bx^2\,+\,cx\,+\,2ax^2\,+\,2bx\,+\,2c )
et on regroupe les termes de même degré :
 \, (ax^2\,+\,bx\,+\,c) \,= \,ax^3\,+\, (2a+b)x^2\,+\, (2b+c)x\,+\,2c )
Ensuite a lieu l'identification. Pour que l'égalité :
x^2\,+\, (2b+c)x\,+\,2c )
soit vraie pour tout x de  , il faut que les coefficients de même degré de chaques polynômes soient égaux deux à deux, c'est-à dire :
Et il ne reste plus qu'à résoudre ce système pour trouver a , b et c qui conviennent. On trouve
On conclut :
 \, (x^2\,-\,3x\,+\,4))
Généralisation (pour ceux qui aiment ça ...)
Soit P(x) un polynôme de degré n
 =a_n x^n\,+\,a_{n-1}x^{n-1}\,+\, \cdots\, +\,a_1x\,+\,a_0)
et soit x0 une racine de ce polynôme, alors P(x) peut s'écrire sous la forme :
 = (x\,-\,x_0)Q(x)) avec Q(x) un polynôme de degré n-1.
On part de :
 = (x\,-\,x_0)(b_{n-1}x^{n-1}\,+\,b_{n-2}x^{n-2}\,+\,\cdots\,+\, b_1x\,+\,b_0))
(les bi sont les coefficents de Q(x) que nous cherchons)
que l'on développe, et on regroupe les termes de même degré :
 = b_{n-1}x^n\,+\,(b_{n-2}\,-\,x_0b_{n-1})x^{n-1}\,+\,(b_{n-3}\,-\,x_0b_{n-2})x^{n-2} \,+\,\cdots\,+\,(b_0 - x_0b_1)x\,-\,x_0b_0)
D'où le système :
Ainsi en résolvant le système on trouve bn-1, bn-2, ..., b1, b0 ce qui nous permet de factoriser le polynôme P(x). |
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