Transmis par Zorro, Actif Jeudi 20 Décembre 2007 : 1311 lectures.
Cette fiche explique la méthode de factorisation d'un polynôme par identification. Un exemple accessible dès la 1ère S est suivi d'une généralisation pour un polynôme de degré n.
Explication de la méthode d'identification par un exemple (niveau 1ère S)
Il s'agit de trouver 3 réels a, b et c tels que pour tout réel x :
Pour déterminer les 3 réels a, b, c on commence par développer le membre de droite :
et on regroupe les termes de même degré :
Ensuite a lieu l'identification. Pour que l'égalité :
soit vraie pour tout x de , il faut que les coefficients de même degré de chaques polynômes soient égaux deux à deux, c'est-à dire :
Et il ne reste plus qu'à résoudre ce système pour trouver a , b et c qui conviennent. On trouve
On conclut :
Généralisation (pour ceux qui aiment ça ...)
Soit P(x) un polynôme de degré n
et soit x0 une racine de ce polynôme, alors P(x) peut s'écrire sous la forme : avec Q(x) un polynôme de degré n-1.
On part de :
(les bi sont les coefficents de Q(x) que nous cherchons)
que l'on développe, et on regroupe les termes de même degré :
D'où le système :
Ainsi en résolvant le système on trouve bn-1, bn-2, ..., b1, b0 ce qui nous permet de factoriser le polynôme P(x).
