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Seconde: Racine carrée de 2 est irrationnel

 
Transmis par Zorro,
le Dimanche 30 Septembre 2007 : 67971 lectures.
Math-Fiche

Le but de cette fiche est de démontrer que est irrationnel.


Démontrons les propriétés préalables nécessaires à la suite de la démonstration :

Si a, entier relatif est pair alors c'est que c'est un nombre obtenu par la multiplication de 2 par un autre nombre entier. Donc si a est pair alors il existe un entier relatif b tel que

Si , alors

avec or donc ;

Il existe donc bien un entier M tel . On arrive bien à la conclusion :

Donc si a est pair alors a2 est pair

Si a est un nombre impair, on peut l'écrire comme un nombre pair auquel on ajoute 1 donc il peut s'écrire alors

avec qui est bien un entier

Donc si a est impair alors a2 est impair

Avec ces 2 démonstrations, on a bien démontré que

a est pair si et seulement si a2 est pair
Cette notion sera utile dans la suite de la démonstration.


La démonstration de l'irrationalité de se fait par l'absurde. On suppose que ce nombre est rationnel et on arrive à une conclusion fausse. Cela voudra donc dire que notre hypothèse de départ est fausse et donc que est un irrationnel.

On suppose que est rationnel
Cela signifie qu'il existe deux entiers relatifs p et q tels que et la fraction est irréductible

donc



donc donc

donc est pair donc p est pair donc il existe un nombre relatif tel que

donc or

donc donc

donc q est pair donc il existe un nombre relatif tel que

donc la fraction n'est pas irréductible, ce qui contredit l'hypothèse de départ qui était est rationnel.

Donc est irrationnel.

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