Sur la dérivation

Plan de cours

Résumé des notions de base sur la dérivation, sans démonstration ici.

Pour la classe de Première.

Un résumé des notions fondamentales à connaître pour le Bac.

1 - Définition

Pour une fonction ff définie sur un intervalle II contenant une valeur x0x_0, si le taux de variation de ff entre xx et x0x_0

f(x)f(x0)xx0\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

possède une limite finie aa lorsque xx tend vers x0x_0, alors on dit que :

  • la fonction ff est dérivable en x0x_0,
  • le nombre dérivé de ff en x0x_0 est aa. On le note f(x0)=af'(x_0) = a.

On retiendra la définition :
f(x0)=limxx0f(x)f(x0)xx0f'(x_0) = \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
valable lorsque cette limite existe. En introduisant la différence h=xx0h = x - x_0, cette définition s’écrit

f(x0)==limh0f(x0+h)f(x0)hf'(x_0) == \lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x_0 +h) - f(x_0)}{h}.

2 - Interprétation géométrique

Le nombre dérivé en x0x_0 d’une fonction ff, dérivable en x0x_0, est égal au coefficient directeur de la tangente (D)(D) à la courbe représentative de ff en x0x_0.

Avec f(x0)=af'(x_0) = a, l’équation de (D)(D) est donnée par
y=a(xx0)+f(x0)y = a(x - x_0) + f(x_0).

Une fonction ff n’est pas dérivable en x0x_0 lorsque sa courbe représentative admet en ce point une tangente parallèle à l’axe des ordonnées.

3 - Dérivées usuelles

Fonctions affines.

Soit f:xax+bf : x \longmapsto a x+b. Alors, pour tout xx, ff est dérivable et on a :
f(x)=af'(x) = a.

En particulier, la dérivée de la fonction f:xxf : x \longmapsto x est f(x)=1f'(x) = 1 pour tout xx.

Fonctions puissances.

Deux cas particuliers avant le cas général.

  • Soit f:xx2f : x \longmapsto x^2. Alors, pour tout xx, ff est dérivable et on a :
    f(x)=2xf'(x) = 2 x.

  • Soit f:xx3f : x \longmapsto x^3. Alors, pour tout xx, ff est dérivable et on a :
    f(x)=3x2f'(x) = 3 x^2.

Cas général

  • Soit f:xxnf : x \longmapsto x^n avec n1n \geqslant 1. Alors, pour tout xx, ff est dérivable et on a :
    f(x)=nxn1f'(x) = n x^{n-1}.

Fonction inverse.

Soit f:x1xf : x \longmapsto \dfrac{1}{x}. Alors, pour tout x0x \neq 0, ff est dérivable et on a :

f(x)=1x2f'(x) = \dfrac{-1}{x^2}.

Fonctions puissances bis.

Où l’on considère les inverses des puissances.

  • Soit f:x1x2f : x \longmapsto \dfrac{1}{x^2}. Alors pour tout x0x \neq 0, ff est dérivable et on a :

f(x)=2x3f'(x) = \dfrac{-2}{x^3}.

  • Soit f:x1x3f : x \longmapsto \dfrac{1}{x^3}. Alors pour tout x0x \neq 0, ff est dérivable et on a :

f(x)=3x4f'(x) = \dfrac{-3}{x^4}.

  • Soit f:x1xnf : x \longmapsto \dfrac{1}{x^n}, pour n1n \geqslant 1. Alors pour tout x0x \neq 0, ff est dérivable et on a :

f(x)=nxn+1f'(x) = \dfrac{-n}{x^{n+1}}.

Fonction racine carrée.

Soit Soit f:xxf : x \longmapsto \sqrt{x}. Alors, pour tout x>0x > 0, ff est dérivable et on a :

f(x)=12xf'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

Fonctions trigonométriques.

  • La fonction f:xcosxf : x \longmapsto \cos x est dérivable pour tout xx, et on a :
    f(x)=sinxf'(x) = -\sin x.

  • La fonction f:xsinxf : x \longmapsto \sin x est dérivable pour tout xx, et on a :
    f(x)=cosxf'(x) = \cos x.

  • La fonction f:xtanxf : x \longmapsto \tan x est dérivable pour tout xπ2+kπx \neq \dfrac{\pi}{2} +k\pi, et on a

f(x)=1+tan2x=1cos2xf'(x) = 1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}.

Opérations et dérivées.

Soient ff et gg deux fonctions dérivables en xIx \in I.

Alors

  • la somme f+gf + g est dérivable en xx et on a :
    (f+g)(x)=f(x)+g(x)(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x).

  • le produit fgfg est dérivable en xx et on a
    (fg)(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).

  • si de plus g(x)0g(x) \neq 0, le quotient \dfrac{f}{g} est dérivable et on a :

(fg)(x)=g(x)f(x)f(x)g(x)g2(x).\bigg(\dfrac{f}{g}\bigg)'(x) = \dfrac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}.

Composition avec une fonction affine.

Soit u:xax+bu : x \longmapsto a x+b une fonction affine.
Soit ff une fonction dérivable en y0=ax0+b.y_0 = a x_0 + b.

Alors, la fonction composée g:xfug : x \longmapsto f \circ u est dérivable en x0x_0 et on a :

g(x0)=a×f(ax0+b)g'(x_0) = a \times f'(a x_0 + b).

4 - Usage de la dérivée

On a vu que le nombre dérivée donne la pente des tangentes à la courbe
représentative de la fonction.

Il est bien connu que le signe de la dérivée de ff donne le sens de variation de celle-ci.

Les valeurs en lesquelles s’annulent la dérivée d’une fonction indiquent des extrema éventuels :

si f(x0)=0f(x_0) = 0, alors en x0x_0 la fonction ff peut posséder un maximum ou un minimum local.

De façon précise, pour que la fonction ff possède un extremum en x0x_0, il est nécessaire que l’on ait f(x0)=0f'(x_0) = 0.

Le nombre dérivé fournit aussi des approximations affines. Par exemple :

  • pour de « petites » valeurs de xx autour de 00 et pour n1n \geqslant 1, on a:

(1+x)n1+nx(1 + x)^n \simeq 1 + nx

  • pour de « petites » valeurs de xx autour de 00, on a :

1+x1+x2\sqrt{1 + x} \simeq 1 +\dfrac{x}{2}

  • pour de petites valeurs de xx autour de 00, on a :

sinxx\sin x \simeq x.

Par Zauctore

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