Les suites arithmétiques en Première

Un cours relativement complet sur les suites arithmétiques au niveau de la classe de Première.

1 - Introduction

La suite des nombres entiers naturels de 11 à nn :

1,2,3,4,5,...,n1, 2, 3, 4, 5, ..., n

est l’exemple-type de suite arithmétique. On peut en calculer la somme des termes :

Sn=1+2+3+...+nS_n = 1 + 2 + 3 + ... + n

en remarquant que lorsqu’on écrit les nn premiers termes de gauche à droite et de droite à gauche les uns en dessous des autres, leur somme deux-à-deux en colonne est constamment égale à n+1n + 1.

Sn=1+2+3+...+n2+n1+nS_n = 1 + 2 + 3 + . . . + n - 2 + n - 1 + n
Sn=n+n1+n2+...+3+2+1S_n = n + n - 1 + n - 2 + . . . + 3 + 2 + 1
\rule{10cm}{.5pt}
2×Sn=n+1+n+1+n+1+...+n+1+n+1+n+12 \times S_n = n + 1 + n + 1 + n + 1 + ... + n + 1 + n + 1 + n + 1

Alors, on en déduit que :

2×Sn=n×(n+1)2 \times S_n = n \times (n + 1)

c’est-à-dire

1+2+3+...+n=n(n+1)2\boxed{1 + 2 + 3 + ... + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}}

On peut en déduire la valeur de la somme des nn premiers multiples d’un nombre aa en factorisant :

a+2a+3a+...+na=n(n+1)2×aa + 2a + 3a + ... + n a = \dfrac{n(n + 1)}{2} \times a.

2 - Définition

De façon générale, une suite (un)n(u_n)_ n dont les premiers termes sont

u0,u1,u2,...,unu_0, u_1, u_2, ..., u_n

est appelée suite arithmétique lorsqu’on passe d’un terme quelconque au terme suivant par addition d’une constante rr, c’est-à-dire que l’écart entre deux termes quelconques est constant, ou encore que, pour tout entier nn on a la relation :

un+1=un+ru_{n+1} = u_n + r.

Le nombre rr est appelé raison de la suite (un)n(u_n)_ n.

Par exemple, la suite de nombres :

u0=1u_0 = 1, u1=4u_1 = 4, u2=7u_2 = 7, u3=10u_3 = 10, u4=13u_4 = 13, etc.

sont en progression arithmétique de raison 33.

Généralement, pour une suite arithmétique (un)(u_n) de raison rr, on a :

u1=u0+ru_1 = u_0 + r
u2=u1+r=u0+2ru_2 = u_1 + r = u_0 + 2r
u3=u2+r=u1+2r=u0+3ru_3 = u_2 + r = u_1 + 2r = u_0 + 3r
...
un=un1+r=un2+2r=un3+3r=...=u0+nru_n = u_{n-1} + r = u_{n-2} + 2r = u_{n-3} + 3r = ... = u_0 + n r

On peut se représenter la situation au moyen d’un schéma comme celui-ci

u0+ru1+ru2+ru3+r...+run+run+1u_0 \xrightarrow{+r} u_1 \xrightarrow{+r} u_2 \xrightarrow{+r} u_3 \xrightarrow{+r} ... \xrightarrow{+r} u_n \xrightarrow{+r} u_{n+1}

3 - Propriétés

Avec ce qui précède, on peut enoncer d’importantes propriétés des suites arithmétiques pour leur terme général et la somme de leurs termes consécutifs.

Expression du terme général.

Propriété 1

Pour toute suite arithmétique (un)(u_n) de premier terme u0u_0 et de
raison rr, on a la relation :

un=u0+n×ru_n = u_0 + n \times r.

Ceci est l’expression du terme général unu_n en fonction de nn.

Caractérisation.

Soient deux nombres pp et rr. Considérons la suite (Un)(U_n) définie pour tout entier nn par :

Un=p+n×rU_n = p + n \times r.

Alors, son premier terme est U0=pU_0 = p et cette suite est manifestement arithmétique de raison rr. En effet, pour tout nn, la différence :

Un+1Un=p+(n+1)r+pnr=rU_{n+1} - U_n = p + (n + 1)r + p - n r = r

est constante égale à rr. On en déduit donc :

Propriété 2

Les suites arithmétiques sont exactement celles dont le terme général est de la forme : p+n×rp + n \times r

pour tout entier nn, avec pp et rr deux nombres fixés.

Remarques:
Cette propriété caractérise les suites arithmétiques, en décrivant la forme de leur terme général unu_n, qui est fonction affine de l’indice nn.
D’un point de vue méthodique, il faut noter que, pour montrer qu’une suite (un)(u_n) est arithmétique, il suffit de montrer que la différence de deux termes consécutifs un+1unu_{n+1} - u_n ne dépend pas de l’indice nn.

Somme des premiers termes.

Soit une suite arithmétique (un)(u_n) de premier terme u0u_0 et de raison rr. Considérons alors la somme des termes jusqu’au rang nn (on parle parfois de totalisation des termes)

Sn=u0+u1+u2+...+unS_n = u_0 + u_1 + u_2 + ... + u_n.

Alors, la propriété 1 permet d’écrire

Sn=u0+u0+r+u0+2r+...+u0+n×rS_n = u_0 + u_0 + r + u_0 + 2r + ... + u_0 + n \times r

c’est-à-dire

Sn=(n+1)u0+r+2r+...+n×rS_n = (n + 1)u_0 + r + 2r + ... + n \times r.

Avec la formule de la section 1, on obtient :

Sn=(n+1)u0+n(n+1)2×rSn = (n + 1)u_0 + \dfrac{n(n + 1)}{2} \times r

c’est-à-dire

Sn=(n+1)(u0+n2×r)=(n+1)2u0+n×r2S_n = (n + 1) \bigg(u_0 + \dfrac{n}{2} \times r\bigg)= (n+1) \dfrac{2u_0 + n \times r}{2}

On peut aller plus loin en écrivant :

Sn=(n+1)u0+u0+n×r2=(n+1)u0+un2S_n = (n + 1) \dfrac{u_0 + u_0 + n \times r}{2} = (n + 1) \dfrac{u_0 + u_n}{2}.

Propriété 3

Pour toute suite arithmétique (un)(u_n) de premier terme u0u_0 et de raison rr, la somme de ses premiers termes est donnée par :

u0+u1+...+un=(n+1)u0+un2\boxed{u_0 + u_1 + ... + u_n = (n + 1) \dfrac{u_0 + u_n}{2}}

C’est la somme des n+1n + 1 premiers termes, de u0u_0 à unu_n. On peut retenir cette formule en remarquant qu’il s’agit de (n+1)(n + 1) fois la moyenne du premier terme u0u_0 et du dernier terme unu_n.

Nombres en progression arithmétique.

Trois nombres aa, bb et cc sont en progression arithmétique lorsqu’il existe un nombre rr tel que a=bra = b - r et c=b+rc = b + r.

C’est-à-dire que aa, bb et cc sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique dont la raison est rr.

Propriété 4

Trois nombres aa, bb et cc sont en progression arithmétique si et
seulement si l’on a la relation :

b=a+c2b = \dfrac{a + c}{2}.

Complément.

Les propriétés 1 et 3 peuvent être données sous une forme plus générale.

Propriété 5

Soient n>kn > k deux nombres entiers. Alors, on a : un=uk+(nk)×ru_n = u_k + (n - k) \times r

et d’autre part :

uk+uk+1+...+un=(nk+1)uk+un2u_k + u_{k+1} + ... + u_n = (n - k + 1) \dfrac{u_k + u_n}{2}.

On peut donc atteindre n’importe quel terme à partir d’un terme précédent ; on peut aussi calculer la somme des termes consécutifs pris entre deux termes quelconques d’une suite arithmétique.

Cours vidéo

Cette vidéo donne la définition d'une suite arithmétique - par récurrence - et la formule du terme général.

Suites arithmétiques. Introduction.

La vidéo explique de façon imagée par un tableau le mode de génération de la suite arithmétique et en donne la définition par récurrence un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r.

L'explication sous forme de tableau conduit très naturellement à comprendre la formule du terme général un=u0+nru_n=u_0+nr puis un=up+(np)ru_n=u_p+(n-p)r


Vidéo proposée par kiffelesmaths.com


4 Applications immédiates

  • Question 1

Une suite arithmétique (un)(u_n) a pour premier terme u0=30u_0 = 30 et pour 11e terme u10=70u_{10} = 70.

Déterminer l’expression du terme général unu_n en fonction de nn.

  • Question 2

Calculer le 30e terme de la suite arithmétique de premier terme 33 et de raison 55.

Calculer le 12e terme d’une suite arithmétique de raison 4-4 et de premier terme 11.

  • Question 3

Calculer le premier terme d’une suite arithmétique de raison 33 connaissant son 8e terme égal à 7070.

  • Question 4

Une suite arithmétique a pour premier terme 2020, pour 15e terme 6262. Calculer sa raison.

  • Question 5

Calculer la somme des 15 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 1010 et de raison 33.

  • Question 6

Le 10e terme d’une suite arithmétique est 2121 et la somme de ces 10 premiers termes est 120120. Calculer le premier terme et la raison.

  • Question 7

Calculer la somme des 10001000 premiers nombres entiers.
Calculer la somme des 5050 premiers multiples de 33.
Calculer la somme des 100100 premiers nombres impairs.

  • Question 8

Déterminer combien il faut totaliser de termes successifs de la suite arithmétique de premier terme 12\dfrac{1}{2} et de raison 13\dfrac{1}{3} pour que leur somme soit égale à 4848.

  • Question 9

Calculer trois nombres en progression arithmétique tels que leur somme soit 2727 et la somme de leurs carrés soit 221221.

  • Question 10

Trouver quatre nombres en progression arithmétique de raison 44 tels que leur produit soit égal à 585585.


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