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1ère: Mise en forme canonique et résolution du second degré

 
Transmis par Admin,
le Mardi 16 Août 2005 : 31458 lectures.
Math-Fiche

Merci à Jeet-Chris
On a un trinôme de la forme ax²+bx+c.

ax²+bx+c
=a*[x² + (b/a)x + (c/a)]
=a*[ (x+b/(2a))² + (c/a) - b²/(4a²)]
=a*[ (x+b/(2a))² - (b²-4ac)/(4a²)]
=a*[ (x+b/(2a))² - ∆/(4a²)]

Le calcul qui t'embête c'est:

(c/a) - b²/(4a²)
=(4ac)/(4a²) - b²/(4a²) => on met au même dénominateur
=(4ac-b²)/(4a²)
=-(b²-4ac)/(4a²)

Voilà. Il faut juste remarquer que 4ac-b²=-(b²-4ac) .

----------------------------------------------------------------------------

De la forme canonique on retrouve les bases de la résolution des équations du 2nd degré:

ax²+bx+c=a*[ (x+b/(2a))² - ∆/(4a²)] avec ∆=b²-4ac

On cherche quand l'expression s'annule:

a*[ (x+b/(2a))² - ∆/(4a²)] = 0
(x+b/(2a))² - ∆/(4a²) = 0 => car a≠0
(x+b/(2a))² = ∆/(4a²)

Donc vu que le membre de gauche est positif ou nul, que 4a²>0, si:

+ ∆<0, l'équation ne peut avoir de solution dans lR(un carré(membre de gauche) n'est jamais strictement négatif).

+ ∆=0, l'équation possède une unique solution dans lR:

Il faut (x+b/(2a))²=0, donc x=-b/(2a).

+ ∆>0, l'équation possède 2 solutions dans lR(cf. la fonction x→x²):

(x+b/(2a))² = ∆/(4a²)
x+b/(2a) = ±√(∆)/(2a) => on passe à la racine.

Et x=(-b±√(∆))/(2a).
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