Déterminer l'équation d'une droite

Cette math-fiche a pour objet de d'expliquer la façon la plus simple de déterminer l'équation réduite d'une droite de la forme y=mx+py=mx+p en connaissant les coordonnées de deux points de cette droite.

La méthode est assortie d'un exemple et propose une démonstration mais n'explique pas ce qu'est une équation de droite.

1. Méthode

Pour déterminer l'équation réduite d'une droite passant par deux points A et B dont on connait les coordonnées respectives :

A(xA ; yA)A(x_A\ ;\ y_A)
et B(xB ; yB)B(x_B\ ;\ y_B),
avec xAxBx_A\neq x_B,

Il faut simplement chercher à calculer les valeurs de mm et de pp dans l'équation réduite de la forme

y=mx+py=mx+p

La valeur de m - le coefficient directeur - est donnée par l'application de la formule :

m=yByAxBxAm=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

Pour déterminer pp - l'ordonnée à l'origine - il suffit de résoudre l'équation d'inconnue pp :

yA=mxA+py_A=mx_A+p

(donc p=yAmxAp=y_A-mx_A)

Remarque :
Dans le cas où xA=xBx_A=x_B, l'équation de la droite sera simplement x=xAx=x_A

2. Exemple de résolution de l'équation d'une droite

Les points AA et BB ont pour coordonnées A(1;3)A(-1;3) et B(2;3)B(2;-3). Déterminer l'équation réduite de la droite (AB)(AB).

La droite (AB)(AB) a pour équation : y=mx+py=mx+p

Calcul de mm :
m=332(1)=63=2m=\frac{-3-3}{2-(-1)}=\frac{-6}{3}=-2

Calcul de pp :
pp est solution de l'équation yA=mxA+py_A=mx_A+p soit en remplaçant yAyA, mm, et xAxA
3=1×(2)+p3=-1×(-2)+p
p=32p=3-2
p=1p=1

(AB)(AB) a donc pour équation y=2x+1y=-2x+1

3. Démonstration

AA et BB appartenant tous deux à la droite (AB)(AB) dont l'équation réduite est de la forme y=mx+py=mx+p, mm et pp sont solutions du système :

{yA=mxA+p(1)yB=mxB+p(2)\begin{cases} y_A=mx_A+p & (1) \\ y_B=mx_B+p & (2)\end{cases}

En soustrayant une ligne à l'autre (2)(1)(2)-(1) on obtient :
yByA=mxBmxApy_B-y_A=mx_B-mx_Ap
yByA=m(xBxA)y_B-y_A=m(x_B-x_A)

d'où :
m=yByAxBxAm=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

Pour déterminer pp, il faut terminer la résolution du système en utilisant (1)(1) :

yA=mxA+py_A=mx_A+p

CQFD

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