Trouver deux nombres à somme et produit fixés - une méthode bien pratique !

Objectif :

Dans cet article, on montre une méthode pour résoudre un type de problème particulier et assez courant : trouver deux nombres (inconnus) uu et vv, tels que u+v=Su+v = S et uv=Puv = P (SS et PP connus).

Voici donc un complément de cours (... des anciens programmes) : Deux nombres à somme et produit connus

§ 1 - Condition nécessaire

Soient uu et vv deux nombres dont le produit est PP et la somme SS : uv=Puv = P et u+v=Su + v = S.

Alors en multipliant la 2e égalité par uu, on a : u2+uv=Suu^2 + uv = Su qui devient, en remplaçant uvuv par PP : u2Su+P=0u^2 - Su + P = 0.

Ceci montre que u est nécessairement solution de l'équation x2Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0. On peut voir de même que c'est le cas pour vv.

§ 2 - Condition suffisante

Soient uu et vv les solutions d'une équation x2Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0.

Alors on a pour tout xx

x2Sx+P=(xu)(xv)x^2 - Sx + P = (x - u)(x - v).

En développant, on a :

x2Sx+P=x2(u+v)x+uvx^2 - Sx + P = x^2 - (u + v)x + uv.

Ceci montre que u+v=Su+v = S et que uv=Puv = P.

§ 3 - Théorème

uv=Puv = P et u+v=Su+v = S u,v\Longleftrightarrow u, v solutions de x2Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0.

§ 4 - Application numérique

Problème :

Trouver deux nombres dont la somme est 2121 et le produit 5454.

Solution :

uu, vv cherchés sont tels que u+v=21u+v = 21 et uv=54uv = 54.

Cela revient à trouver les solutions u,vu,v de x221x+54=0x^2 - 21x + 54 = 0.

Or le discriminant de ce trinôme est 2124×54=225=15221^2 - 4 \times 54 = 225 = 15^2,

Donc u=(2115)/2=3u = (21 - 15)/2 = 3 et v=(21+15)/2=18v = (21 + 15)/2 = 18.

C'est quand même plus rapide que de faire des essais. C'est surtout plus systématique.

Remarque :

Dans le cas de conditions simplissimes, du genre trouver deux nombres uu et vv tels que u+v=3u+v = 3 et uv=2uv = 2, on peut quand même se dispenser de la recherche systématique puisqu'il est évident que 11 et 22 sont solutions…

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