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1ère: Trouver deux nombres à somme et produit fixés - une méthode bien pratique !

 
Transmis par Zauctore,
le Dimanche 06 Septembre 2009 : 18145 lectures.
Math-Fiche

Dans cet article, on montre une méthode pour résoudre un type de problème particulier et assez courant :

trouver deux nombres (inconnus) u et v, tels que u+v = S et uv = P (S et P connus).
Voici donc un complément de cours (... des anciens programmes) :

Deux nombres à somme et produit connus
§ 1 - Condition nécessaire
Soient u et v deux nombres dont le produit est P et la somme S
uv = P et u + v = S.
Alors en multipliant la 2e égalité par u, on a
u² + uv = Su
qui devient, en remplaçant uv par P
u² - Su + P = 0.
Ceci montre que u est nécessairement solution de l'équation x² - Sx + P = 0. On peut voir de même que c'est le cas pour v.

§ 2 - Condition suffisante
Soient u et v les solutions d'une équation x² - Sx + P = 0. Alors on a pour tout x
x² - Sx + P = (x - u)(x - v).
En développant, on a
x² - Sx + P = x² - (u + v)x + uv.
Ceci montre que u+v = S et que uv = P.

§ 3 - Théorème
uv = P et u+v = S ⇔ u, v solutions de x² - Sx + P = 0.
§ 4 - Application numérique

Problème : trouver deux nombres dont la somme est 21 et le produit 54.
Solution : u, v cherchés sont tels que u+v = 21 et uv = 54. cela revient à trouver les solutions u,v de x² - 21x + 54 = 0. or le discriminant de ce trinôme est 21² - 4×54 = 225 = 15², donc
u = (21 - 15)/2 = 3 et v = (21 + 15)/2 = 18.
C'est quand même plus rapide que de faire des essais. C'est surtout plus systématique.
Remarque : dans le cas de conditions simplissimes, du genre trouver deux nombres u et v tels que u+v = 3 et uv = 2, on peut quand même se dispenser de la recherche systématique puisqu'il est évident que 1 et 2 sont solutions...

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