Exercice :
Soit f la fonction définie par: f(x)=x*√(2-x).
1)a)Sur quel ensemble I f et-elle définie ?
b)Sur quel ensemble peut-on affirmer que f est dérivable?
2)Encadrer f(x) sur I.
1)a)
f(x)=x*√(2-x)
x définie sur R
√(2-x) définie sur ]-∞;2]
donc : f(x) est définie sur ]-∞;2]
b) f est dérivable sur ]-∞;2[
2)f(x)=x√(2-x)
On étudie les variations de f.
f'(x)=√(2-x)-(x/(2√(2-x))
f'(x)=[(2√(2-x)√(2-x))/(2√(2-x))] - [(x)/(2√(2-x))]
f'(x)=(4-3x)/(2*√(2-x))
(4-3x)/(2√(2-x))=0
.4-3x=0 .2√(2-x)=0
x=4/3 x=2 (valeur interdite)
x...................-∞...............................4/3......................................2
signe de f'(x).................+...................0................-......................
...........................................^..........f(4/3).................................
variation............................../.....................................................
..de.................................../..........................................................
..f.................................../............................................................
.................................../...............................................................
Si x E [4/3;2]
f(2) < f(x) ≤ f(4/3)