La démo pour la propriété I.3 que j'ai, consiste à disposer tous les nombres de 1 à n.m en un tableau de m colonnes et n lignes :
1__________2____________3 ................ m-1_____________m
m+1_______m+2_________m+3............. m+(m-1)m+m
2m+1______2m+2________2m+3........... 2m+(m-1)2m+m
.... ________............ ........... .....
(n-2)m+1__(n-2)m+2____(n-2)m+3 ......(n-2)m+(m-1)(n-2)m+m
(n-1)m+1(n-1)m+2___(n-1)m+3 ......(n-1)m+(m-1)____(n-1)m+m
Pour pouvoir calculer (ph)(n.m), il faut trouver combien parmi ces n.m nombres sont premiers avec n.m. Un nombre premier avec n.m est premier avec m mais aussi avec n. Donc essayons de savoir combien il y a de tels nombres par élimination.
Dans la première ligne il y a (ph)(m) nombres premiers avec m. Donc il y en a m-(ph)(m) qui ne le sont pas donc ils ne font pas partie des (ph)(n.m) nombres premiers avec n.m. De plus, tous les nombres des colonnes correspondantes sont à éliminer aussi car soit k un de ces nombres qui n'est pas premier avec m, alors m+k, 2m+k, ..., (n-2)m+k, (n-1)m+k ne sont bien évidemment pas premiers avec m non plus.
Donc il reste (ph)(m) colonnes de n nombres donc (ph)(n.m) <= n.(ph)(m).
Dans chacune de ces (ph)(m) colonnes, il y a exactement un nombre égal à 0 (mod n), un nombre égal à 1 (mod n), ..., un nombre égal à n-1 (mod n), donc n valeurs distinctes modulo n.
En effet, supposons que deux éléments d'une même colonne, b.m+a et b'.m+a, puissent être égaux modulo n : si b.m+a = b'.m+a (mod n), alors b.m = b'.m (mod n). En multipliant par l'inverse m modulo n (cet inverse existe puisque m et n sont premiers entre eux), on a b = b' (mod n), et plus simplement b = b' (puisque b et b' sont compris entre 0 et n-1). A une valeur donnée correspond donc un seul et même élément de la colonne : on a donc prouvé que tous les nombres des colonnes restantes sont distincts modulo n.
Donc dans chacune des (ph)(m) colonnes restantes de nombres n'ayant aucun facteur commun avec m, la suppression des nombres ayant un facteur commun avec n laissera exactement (ph)(n) nombres.
Au total, on aura donc laissé (ph)(n).(ph)(m) nombres.
Donc il y a exactement (ph)(n).(ph)(m) nombres premiers avec n.m, donc (ph)(n.m)=(ph)(n).(ph)(m). CQFD
C'est pas forcément clair mais ça pourrait être mieux dit... L'inconvénient est qu'elle fait appel à l'arithmétique modulaire qui, il y a 7 ans, n'était enseignée qu'en Terminale S, uniquement en spécialité math et encore on n'avait pas vu la notion d'inverse modulo un nombre ; aujourd'hui je ne sais pas.
A moins qu'une autre démo plus facilement compréhensible eexiste.