Bonjour pouvez-vous m'aider à résoudre cet exercice mais sans l'aide des intégrales.
l'objet de l'exercice est d'étudier la fonction g définie sur [0,[ par :
g(t)=(1-e^(-t))/t si t>0 et g(0)=1.
1.a. établir que g est continue en 0.
b.déterminer la limite de g en +.
2.a.Pour tout t>0,1+t<e^t.
c.en déduire le signe de g' et le sens de variation de g(on ne demande pas de construire la courbe représentative).
3.on se propose d'étudier la dérivabilité de g en 0. A cet effet on introduit la fonction h définie sur [0,+[ par h(t)=1-t+(t²/2)-e^-t.
a.calculer h' et h'', ainsi que les valeurs de h(0) et de h'(0).
b.prouver que pour tout t0 :
0<h(t)<(t^3)/6. Pour cela, on établira d'abord que 0<h''(t)<t, et on en déduira un encadrement de h' puis de h.
c.déduire de la relation précédente un encadrement de (1-e^(-t)-t)/t².
Prouver finalement que g est dérivable en 0 et que g'(0)=-1/2.
Cette dernière question me pose également quelques problèmes.
Je vous remercie de votre aide précieuse.