Oui certain, après il y a pas mal d'erreur dans le livre donc sa pourrais être sa non ? Parce que si il y a ce - devant e−xe^{-x}e−x ça change quoi ?
jojo552
@jojo552
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RE: Irrationalité du nombre eJ
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RE: Irrationalité du nombre e
Oui oui j'ai tout revérifier .. C'est bizarre, j'ai besoin impérativement de cette fonction ln ?
J -
RE: Irrationalité du nombre e
Ah oui exact j'avais pas pensée avec le - ..
Donc sa doit faire :
φ' = 3x² - 2x - 1 - e−xe^{-x}e−x
φ'' = 6x - 2 + e−xe^{-x}e−x
φ''' = 6 - e−xe^{-x}e−x
Enfin même en corrigeant ce problème je ne voit pas comment étudier le signe de φ'''J -
RE: Irrationalité du nombre e
Ben j'ai pas compris désolé ..
La dérivé de e−xe^{-x}e−x reste e−xe^{-x}e−x vu que la dérivé de la fonction est égal a la fonction elle même non ?J -
RE: Irrationalité du nombre e
Désolé du retard je n'avais pas accès, mes calculs sont les suivants, je bloque plus vite que je ne penser en faite :frowning2:
φ' = 3x² - 2x - 1 + e−xe^{-x}e−x
φ'' = 6x - 2 + e−xe^{-x}e−x
φ''' = 6 + e−xe^{-x}e−x
et déjà la je bloque pour étudier le signe de φ''' ainsi que les variations ..J -
RE: Irrationalité du nombre e
Bonsoir, merci de la réponse rapide !
La première partie jusqu'à déterminer le signe de φ' et φ sur [0 ; +∞[ je pense que je ne devrais pas avoir de problème mais ensuite déjà quand je doit faire ψ'(x) = φ'(x) il me suffit bien de faire ( e-x -(1-x+x²/2 - x3/6) )' = ( e-x -(1-x+ x²/2 - x3/6 + x4/24) )' c'est bien ça non ?
Par contre je risque de bloquer à partir d'ou il faut déterminer un encadrementJ -
Irrationalité du nombre e
Bonjour j'ai ce long exercice à effectuer et tout cela c'est pas trop mon fort même pas du tout ...
Soit φ et ψ les fonctions définies sur [0 ; +∞[ par :
φ(x) =e−x=e^{-x}=e−x -(1-x+x²/2 - x3x^3x3/6)
et ψ(x) = e−xe^{-x}e−x -(1-x+ x²/2 - x3x^3x3/6 + x4x^4x4/24)
Calculer φ'(x), φ''(x) et φ'''(x) pour x appartenant à [0 ; +∞[
Etudier le signe de φ''' sur [0 ; +∞[, et e déduire les variations puis le signe de φ'' sur [0 ; +∞[.
Déterminer le signe de φ' puis de φ sur [0 ; +∞[.Vérifier que : Quelque soit x qui appartient à [0 ; +∞[, ψ'(x) = φ'(x).
En déduire les variations puis le signe de ψ sur [0 ; +∞[.
Déduire des questions précédentes un encadrement du nombre 1/e par deux nombres rationnels.
Encadrer e par deux nombres rationnels et déterminer l'amplitude de cette encadrement.Démontrer que : pour tout réel x strictement positif,
1-x + x²/2! - x3x^3x3/3! + x4x^4x4/4! - x5x^5x5/5! < e−xe^{-x}e−x
<1-x + x²/2! - x3x^3x3/3! + x4x^4x4/4! - x5x^5x5/5! + x6x^6x6/6!.
En déduire un nouvel encadrement de e par deux nombres rationnels, puis un encadrement de e d'amplitude 0.012 par deux nombres décimaux.
Démontrer par récurrence sur l'entier n que :
Quelque soit n appartenant à ℕ*, Quelque soit x appartenant à ]0 ; +∞[,
1-x + x²/2! - x3x^3x3/3! + ... - x2n−1x^{2n-1}x2n−1 /(2n-1)!< e−xe^{-x}e−x
<1-x + x²/2! - x3x^3x3/3! + ... - x2n−1x^{2n-1}x2n−1 /(2n-1)! + x2nx^{2n}x2n/(2n)!.
On se propose, dans cette question, de démontrer que e est un nombres irrationnel, ce qui équivaut à démontrer que 1/e est un nombre irrationnel.
On suppose qu'il existe deux entiers naturels non nuls p et q tels que e = p/q.
Soit n un entier naturel, tel que 2n ≥ p.
Démontrer qu'alors q*(2n)!/p est un entier strictement compris entre deux entiers naturels consécutifs.
Conclure.Merci d'avoir pour votre aide en espérant sincèrement en avoir
J