n le plus petit des entiers naturels consécutifs, ces entiers commencent donc par n et finissent par n + (p-1)
On réalise la divise euclidienne de "n" par "p" on obtient :
n=pq+r, comme c'est une division euclidienne alors 0 ≤ r ≤ p (inférieur ou égale.
Si r=0 alors p divise n.
Soit x=n+ (p-r) ; on remplace par la valeur de n précédente on a donc :
x= pq+r + (p-r) <=> x= pq + p <=> x= p(q+1)
Or q+1 est un entier, donc p divise bien x.
Avec 1 ≤ r ≤ p on a donc 0 ≤ p-r ≤ p-1
Alors finalement x appartient aux p nombres entiers consécutifs.
On peut conclure que x est multiple de p.
I