Bonjour, j'ai quatre exercices à faire pour demain, c'est le début de l'année et j'ai encore du mal à me mettre dans le bain. J'ai réussi à en faire la moitié de deux, les autres sans résultats.
Exercice 1:
On pose tn=5+3x4^(n+2)+10^n où n est un entier naturel.
Démontrer par récurrence que la propriété "tn est divisible par 9" est vraie pour tout entier naturel n.
Voilà ma réponse:
tn=5+3x4^(n+2)+10^n
Proposition: tn est divisible par 9.
_ initialisation:
t0=5+3x4²+1=5+3x16+1=54
54/6=9 donc la proposition est vraie.
_ hyppothèse de récurrence:
Supposant que pour un entier naturel quelconque p, la proposition soit vraie.
tp=5+3x4^(p+2)+10^p
_ hérédité:
tp+1=5+3x4^(p+3)+10^(p+1)=?
Je bloque donc à partir de l'étape hérédité.
Exercice 2:
Q est la fonction polynôme définie sur R par: Q(x)=x^3/3-x²/2+x/6.
- Vérifier que pour tout réel x: Q(x+1)-Q(x)=x²
- Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Q(n) est un entier naturel.
Exercice 3:
On note n!=1x2x3x...xn et on lit "factorielle n".
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n, on a: 1+2x2!+3x3!+...+nxn!=(n+1)!-1
Ici, je ne vois même pas comment développer l'étape initialisation.
Exercice 4:
La suite (un) est définie par u0=1 et pour tout entier naturel n par: un+1=((un)+4)/((un)-2).
On pose, pour tout entier n, Vn=((un)+1)/((un)-4).
- Démontrer que la suite (Vn) est géométrique.
- Exprimer Vn, puis (un) en fonction de n.
Ici, je fais le rapport de Vn+1/Vn et je trouve -2/3, c'est donc une suite géométrique de raison -2/3.
Voilà ma réponse à la première question. Mais je n'arrive pas à faire la question 2).
Merci.