Je pars du principe que mes parenthèses sont OK, car alors le résultat de l'exercice est bon.
Voici donc comment faire.
Tout d'abord, exprimer f(x) avec 1/(x-1):
f(x)=(2(x-1)-1)/(x-1)=2(x-1)/(x-1)-1/(x-1)=2-1/(x-1)
Ensuite, poser la conjecture: x-1 devient très grand quand x tend vers + infini, et son inverse 1/(x-1) devient très petit, proche de 0. Donc f(x) tend vers 2-0=2.
Ensuite, l'inégalité 1/(x-1)<10−210^{-2}10−2
Tu fais passer (x-1) de l'autre côté de l'inégalité, en multipliant les deux memebre par x-1, qui est positif car x est supposé tendre vers + infini.
Tu obtiens 10−210^{-2}10−2(x-1)<1
Puis tu multiplie les deux memebre par 10[sup]2[/sup]=100, et tu ajoute 1, d'où x>101.
Maintenant, tu reournes à f(x)=2-1/(x-1). Là, il y a encore un bug de signe, car si 1/(x-1)<10[sup]-2[/sup], alors f(x)=2[b]-[/b]1/((x-1)[b]>[/b]2∗∗−∗∗10−2[/b]2**-**10^{-2}[/b]2∗∗−∗∗10−2.
Si on change de signe, on change le sens de l'inégalité, et donc on obtient -f(x)<−2+10−2-2+10^{-2}−2+10−2, et donc 2-f(x)<10[sup]-2[/sup]
Comme cette inégalité a lieu pour x>101, alors que 1/(x-1) est positif, f(x) est inférieur à 2 dans ce cas. Donc 2-f(x) est la valeur absolue du nombre négatif f(x)-2.
On trouve donc le seuil x2=101 à partir duquel la valeur absolue de f(x)-2 est < 10−210^{-2}10−2