Iroh
Ex1:
2) Montrer que ∀x≠0,e(x)=0→e(1x)=0\forall x\neq 0, e(x)=0 \rightarrow e(\frac{1}{x}) = 0∀x=0,e(x)=0→e(x1)=0.
Soit un x arbitraire, supposons que E(x) = 0 est vrai.
On a e(1x)≡1x4−3x3+2x2−3x+1e\left(\frac{1}{x}\right) \equiv \frac{1}{x^4} - \frac{3}{x^3}+\frac{2}{x^2}-\frac{3}{x}+1e(x1)≡x41−x33+x22−x3+1
On réduit au même dénominateur (ok car x≠0x \neq 0x=0):
$\begin{eqnarray} \ & \frac{1-3x+2x^2-3x^3+x^4}{x^4}&=&0 \ \ \leftrightarrow &x^4-3x^3+2x^2-3x+1 & = & 0 \end{eqnarray}$
Ok car E(x)=0 par hypothèse.
- a) u2=x2+2x+1x2u^2 = \frac{x^2+2x+1}{x^2}u2=x2x2+2x+1
x2+1x=u2x−2\frac{x^2+1}{x} = u^2x-2xx2+1=u2x−2
b) Montrer que E(x) = E'(x), ∀x\forall x∀x
$\begin{eqnarray} \ e'(x) \equiv & x^2 + \frac{1}{x^2} - 3\left(x+\frac{1}{x}\right) +2 & = &0 \ \ & \frac{x^4+1-3x^2\left(x+\frac{1}{x}\right)+2x^2}{x^2} & = &0 \ \ & x^4 - 3x^3 +2x^2 - 3x+1 & = & 0 \ \ \end{eqnarray}$
Ex2:
$f(x) \text{ est decroissante } \leftrightarrow \forall x \in \re, \forall \varepsilon > 0, f(x)>f(x+\varepsilon)$
Etudier f(x) et f(x²):
a) x=x2↔x=1 ou x=0x = x^2 \leftrightarrow x = 1 \text{ ou } x = 0x=x2↔x=1 ou x=0. Donc f(x)=f(x2)f(x)=f(x^2)f(x)=f(x2) quand x = 1 et quand x = 0.
b) Soit x>0, $x^2>x \leftrightarrow x > 1$. Donc f(x²) < f(x) quand x>1. Mais f(x²) > f(x) quand 0 < x < 1.
c) Soit x<0, [mtex]x < x^2 \Leftrightarrow \frac{x^2}{x}<\frac{x}{x} \Leftrightarrow x<1[/mtex]. Donc f(x²) < f(x) quand x<0.