Bonjour
Zauctore ça c'est une réponse concise et efficace !
Et je n'y avais pas pensé mais dommage ! La Loi de Nivozero, ça l'aurait fait !
Comme Thierry, j'ai un peu laché (je me suis sauvé en courant) devant les explications.
Depuis un moment je me doutais bien que c'était la multiplication qui était en cause. En effet on obtient une distribution régulière avec l'addition.
Thierry
La ressemblance entre le diagramme de Nivozero et celui de la loi de Benford est frappante !
Cependant
Wikipédia
la convergence vers les valeurs de la loi de Benford n'est qu'approximative
Et bien non ! :evil: C'est précisément la même. Je le montre avec mon exemple sur les puissances de Pi.
A chaque fois que j'écris log, il s'agit du log en base 10.
Au lieu de partir de 1 et de multiplier par Pi à chaque fois, je pars de 0 et j'ajoute le log de Pi ~0,4971.
Au lieu de diviser par 10 si le résultat dépasse 10, je soustrait log(10) = 1 dès qu'il dépasse 1.
J'obtiens donc à chaque étape une nombre compris entre 0 et 1.
Puisque log(pipipi) n'est pas une fraction on va couvrir tout l'intervalle [0,1[ de façon régulière. (Ce n'est pas une démonstration mais c'est assez intuitif).
Maintenant que j'ai établi (à l'arrache) que la distribution du log des puissances de Pi est uniforme, remonter au premier chiffre des puissances elles-mêmes est un jeu d'enfant.
Intervalle Premier chiffre Proportion
0 à log(2) 1 30,10% = log(2)
log(2) à log(3) 2 17,61% = log(3) - log(2)
log(3) à log(4) 3 12,49% = etc...
log(4) à log(5) 4 9,69%
log(5) à log(6) 5 7,92%
log(6) à log(7) 6 6,69%
log(7) à log(8) 7 5,80%
log(8) à log(9) 8 5,12%
log(9) à 1 9 4,58%
Je retrouve bien les résultats exposés dans l'article de Wikipedia. Et pour coller tout à fait à la formule donnée dans cet article il suffit de voir que ma formule qui traduit simplement le découpage de l'intervalle [0,1[ entre chaque chiffre est juste une forme différence de log(1+1/n).
Bon week-end