Voici un exo sur les transformation du plan avec les complexes.
Les solutions que j'ai trouvées se trouvent après l'exo.
J'ai des doutes sur le 2)a) , sur le 4) et le 5)
Si quelqu'un a la gentillesse de jeter un oeil d'expert ça serait sympa !
Le plan P est muni d'un repère orthonormal (O,u,v) direct. Soit A le point d'affixe i
et B le point d'affixe -i.
Soit f la fonction définie sur C - {i} par f(z) = (1 - iz) / (z - i)
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Vérifier que pour tout z de C - {i}, f(z) = -i + 2/(z - i)
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a) Démontrer que -i n'a pas d'antécédent par f.
b) Déterminer les antécédents de 0 et i par f.
- A tout point M différent de A, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' tel que
z'=f(z).
a) Démontrer que pour tout M différent de A, le produit des longueurs AM et BM'
est égal à 2.
b) Démontrer que lorsque M décrit le cercle de centre A et de rayon 4, M' se déplace
sur un cercle C' dont on précisera le centre et le rayon.
- a) Déterminer l'ensemble E des points M(z) tels que z - i soit un nombre réel non nul.
b) Déterminer que lorsque M décrit E, M' se déplace sur une droite (delta) que l'on
précisera.
c) Lorsque M décrit E, M' décrit-il toute la droite (delta) ?
- Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que f(z) soit un imaginaire pur non nul.
Mes solutions si tant est qu'elles soient bonnes !
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f(z) = -i + 2/(z - i) = (-i(z - i) + 2) / (z - i ) = (-iz - 1 + 2) / (z - i) = (1 - iz) / (z - i)
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a) si -i admettait un antécédent par f on aurait
-i + 2/(z - i) = -i qui équivaut à 2 / (z - i) = 0 or a/b=0 si a=0 et b différent de 0
donc 2 / (z - i) = 0 n'a pas de solution et -i pas d'antécédent par f.
b) - Antécédent de 0 : -i + 2 / (z - i) = 0 d'où i = 2 / (z - i) il vient zi = 1
donc z = 1/i = -i, il s'agit du point B
- Antécédent de i : -i + 2 / (z - i) = i d'où -2i + 2/(z - i) = 0
il vient iz = 0 donc z = 0
- a) AM x BM' = mod(Z AM) x mod (Z BM') = mod ( Z AM x Z BM') or pour tout z différent de i
on a AM x BM' = mod( (z - i) x (-i + 2/(z - i) + i)) = mod (2) = 2
b) M décrit le cercle C de centre A et de rayon 4 équivaut à AM = 4 or AM x BM' = 2
d'où BM' = 1/2 donc M' décrit un cercle de centre B d'affixe -i et de rayon 1/2.
- a) En posant z = x + iy on obtient z - i = x + i(y-1) pour que z - i soit réel ou nul
il faut que i(y - 1) = 0 et x différent de 0 donc y vaut 1. Il s'agit de la droite
d'équation y = 1 privée du point x = 0.
b) M' est le point d'affixe z' avec z'=f(z) soit z' = -i + 2 / (z - i) or quand M décrit
E, z - i = x donc pour x différent de 0 on a z' = 2/x - i, il s'agit des points
M'( x/2 ; -1 ) donc de la droite (delta) d'équation y = -1 privée du point B d'affixe -i.
c) L'ensemble E est constitué des points M( x ; 1 ) avec x différent de 0, or les points
M'( x/2 ; -1 ) sont également définis quand x différent de 0 donc quand M décrit E,
M' décrit la droite (delta).
- Pour que f(z) soit un imaginaire pur non nul, il faut que sa partie réelle soit nulle
et sa partie imaginaire non nulle.
J'arrive à f(z) = (2x(1 - y)) / (x2 + (y - 1)²) + i (x² - (y - 1)²) / (x2 + (y - 1)²)
En posant un systéme d'équations, j'ai l'impression qu'il s'agit de l'ensemble nul
Mais j'ai vraiment des doutes sur ma méthode ...