bon il n'y a plus que la question 3)b qui me reste à faire, je n'y arrive pas...
Bourasland
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RE: Fonction réciproque, équivalents...B
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Fonction réciproque, équivalents...
Bonjour, j'aimerais avoir un peu d'aide pour un exercice.
Voici l'énoncé:L'objet de cet exercice est l'étude de la fonction fff telle que
$\fbox{f(x)=x^{f(x)}}$ (1)
x étant dans un intervalle que l'on déterminera dans le problème.
- On pose, pour y∈r+∗y\in \mathbb{r_+^*}y∈r+∗,
$\fbox{\psi(y)=\frac{ln(y)}{y}}$
a) Etudier ψ\psiψ.
b) On note $\psi_1=\psi|_{]0,e]$. De la question précédente, justifier simplement que ψ1\psi_1ψ1 admet un fonction réciproque continue φ1\varphi_1φ1, dont on précisera la monotonie, l'ensemble de définition, et les limites aux bornes de cet ensemble.- On définit la fonction fff par:
$\fbox{\forall x\in ]0, exp(\frac{1}{e})], f(x)=\varphi_1( ln(x))}$.
a) vérifier que fff est bien définie, continue sur ]0,exp(1e)]]0, exp(\frac{1}{e})]]0,exp(e1)] et qu'elle vérifie l'équation (1). Quelles sont les variations de fff?
b) Calculer f(1)f(1)f(1) et f(exp(1e))f(exp(\frac{1}{e}))f(exp(e1)).
c) Montrer que fff peut être prolongée par continuité en 0.- Soit x∈]0,1[x\in]0,1[x∈]0,1[ et y=f(x)y=f(x)y=f(x). On pose y=1yy=\frac{1}{y}y=y1 et x=1xx=\frac{1}{x}x=x1.
a) Montrer que
$\fbox{\frac{y}{ln x}ln(ln x)=1+\frac{ln(ln y)}{ln y}}$
b) En déduire un équivalent de f(x)f(x)f(x) lorsque xxx tend vers 0.
- pour la question 1) pas de problème
- pour la question 2) ça va aussi
- c'est pour la 3) que j'aimerais avoir de l'aide
a) faudrait que je montre que Y ln(Y)=ln(X) et là ça marche...
B -
RE: Fonctions, suites, équivalents et limites...
bon OK, merci... j'espère que c'est ça !
B -
RE: Fonctions, suites, équivalents et limites...
OK
mais pour quoi alors on doit montrer qu'on peut faire un prolongment par continuité par φ(0)=0\varphi(0)=0φ(0)=0?
ya une erreur dans l'énoncé? (ça m'étonnerais beaucoup de la part de mon prof...)B -
RE: Fonctions, suites, équivalents et limites...
euh si, ya un truc qui n'est pas encore clair pour moi.
limx→0φ(x)=0\lim_{x\to 0}\varphi(x)=0limx→0φ(x)=0 ou −1-1−1 ?
parce que 000 on ne le trouve qu'en fait le changement de variable x=1xx=\frac{1}{x}x=x1, mais est ce qu'on a vraiment le droit de transformer une fonction pour calculer sa limite?
et puis si on fait ça:
on pose f(x)=xln(1+1x)f(x)=xln(1+\frac{1}{x})f(x)=xln(1+x1)
$exp{f(x)}=(1+\frac{1}{x})^x \$
et la limite en 000 de expfexp{f}expf fait 111donc la limite de fff en 000 est égale à ln(1)=0ln(1)=0ln(1)=0
donc la limite de φ(x)\varphi(x)φ(x)en 000 est −1-1−1, non?
De plus sur $\tex{maple}$, il donne −1-1−1 et sur ma $\tex{ti89}$ elle donne aussi −1-1−1, alors qui a raison?
donc c'est quoi la limite? −1-1−1 ou 000
B -
RE: Fonctions, suites, équivalents et limites...
OK , merci beaucoup pour votre aide !
B -
RE: Fonctions, suites, équivalents et limites...
0≤vn≤canexp−na0\le v_n\le c_an exp{-na}0≤vn≤canexp−na
0≤n2vn≤can3exp−na0\le n^2v_n\le c_an^3 exp{-na}0≤n2vn≤can3exp−nalimn→+∞can3exp−na=0\lim_{n\to +\infty}c_an^3 exp{-na}=0limn→+∞can3exp−na=0
D'après le théorème des gendarmes, on a
limn→+∞n2vn=0\lim_{n\to +\infty}n^2v_n=0limn→+∞n2vn=0
d'où
$\fbox{v_n=o(\frac{1}{n^2})}$B -
RE: Fonctions, suites, équivalents et limites...
u est négligeable devant v s'il existe une suite (ϵn)<em>n∈n(\epsilon_n)<em>{n\in\mathbb{n}}(ϵn)<em>n∈n telle que
lim</em>n→+∞ϵn=0\lim</em>{n\to +\infty}\epsilon_n=0lim</em>n→+∞ϵn=0
∀n∈n\forall n\in\mathbb{n}∀n∈n, un=ϵnvnu_n=\epsilon_n v_nun=ϵnvn
mais après comment fait t'on?
vnv_nvn tend bien vers 0 en +∞+\infty+∞ ?B -
RE: Fonctions, suites, équivalents et limites...
donc j'écris que:
0≤vn≤canexp−na0\le v_n\le c_an exp{-na}0≤vn≤canexp−na
limn→+∞canexp−na=0\lim_{n\to +\infty}c_an exp{-na}=0limn→+∞canexp−na=0
d'après le théorème des gendarmes on a
limn→+∞vn=0\lim_{n\to +\infty}v_n=0limn→+∞vn=0
or
limn→+∞1n2=0\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^2}=0limn→+∞n21=0Donc vn=o(1n2)v_n=o(\frac{1}{n^2})vn=o(n21)
B