Bonsoir!!
Alors voilà je panne depuis pas mal de temps sur cette exercice, je dois l'avoir fait pout vendredi, et je sollicite votre petit coup de main s'il vous plait
Partie A (j'ai réussi ça)
soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)= (xln(x))/(x+1)
(en gros dans cette partie il s'agit de démontrer que f'(x)=phi(x)/(x+1)^2
avec phi(x) = lnx+x+1
lim f(x)=0
x->0
lim f(x)=+∞
x->+∞
f décroissante jusqu'à Bêta (≈0,28) puis croissante.
Partie B (là où je panne)
On se propose d'étudier l'équation f(x)=n où n est 1 entier naturel non nul :
1- Montrer que pour tout n, cette équation admet une solution L(n) (L=alpha) et 1 seule (en particulier L(1)=L).
2- Comparaison de L(n) et exp(n)
a-établir que f(exp(n))≤ n. en déduire que L(1)≥exp(n).
b-Prouver que cette relation f(L(1))=n peut s'écrire :
ln((L(1))/exp(n))=n/L(n) {1}
en déduire, à l'aide de a, la limite de L(1)/exp(n) lorsque n->∞
3- Comparaison de L(1) à (exp(n)=n) :
On écrit L(n) sous la forme :
L(n)=exp(1+∑(n)) {2} où ∑(n) ≥0
a-A l'aide de {1}, exprimer (1+∑(n))ln(1+∑(n)) en fonction de n.
b- Etablir de a et b que pour tout n ≥1
∑(n)≤nexp(-n)≤∑(n)+(∑^2(n))/2
Puis : 0≤ nexp(-n)-∑(n) ≤ (n^2/2)exp(-2n) {3}
d- A l'aide de {2} et {3}, déterminer la limite de exp(n)+n-L(n) lorsque n⇒+∞
Voilà. Désolée c'est long, mais j'ai vraiment besoin d'aide, merci!!!