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Développement et racines carrées

Pour les élèves de Troisième.

Voici un document illustrant le développement de produits contenant des racines carrées.

Le document contient des exercices avec solution.

Exemples

Développer et réduire A=6(3+26)A = \sqrt{6} (3 + 2\sqrt{6}).

Avec la distributivité, chaque terme contenu entre parenthèses est multiplié par 6\sqrt{6} :

A=6(3+26)=6×3+6×26=36+2(6)2=36+12A = \sqrt{6}(3 + 2\sqrt{6}) = \sqrt{6} \times 3 + \sqrt{6} \times 2\sqrt{6} = 3\sqrt{6} + 2(\sqrt{6})^2 = \boxed{3\sqrt{6} + 12}.

Développer et réduire B=(1+22)(32)B = (1 + 2\sqrt{2})(3 - \sqrt{2}).

Chaque terme de la deuxième parenthèse est multiplié par chaque terme de la première :

B=(1+22)(32)=32+622(2)2=3+524=521B = (1 + 2\sqrt{2})(3 - \sqrt{2}) = 3 - \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} - 2(\sqrt{2})^2 = 3 + 5\sqrt{2} - 4 = \boxed{5 \sqrt{2} - 1}.

Développer et réduire C = 2p5 + p22.

On peut bien entendu écrire C=(25+2)(25+2)C = (2\sqrt{5} + \sqrt{2})(2\sqrt{5} + \sqrt{2}) et appliquer la méthode précédente.

On pourra plutôt utiliser l’identité (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 :

C=(25+2)2=(25)2+2×25×2+(2)2=4×5+410+2=22+410C = (2\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = (2\sqrt{5})^2 + 2 \times 2\sqrt{5} \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 \times 5 + 4\sqrt{10} + 2 = \boxed{22 + 4\sqrt{10}}.

Remarque : on a bien (25)2=22×52=4×5=20(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \times \sqrt{5}^2= 4 \times 5 = 20.

Développer et réduire D=(365)(36+5)D = (3\sqrt{6} - 5)(3\sqrt{6} + 5)

Ici aussi, on utilise plutôt l’identité (ab)(a+b)=a2b2(a - b)(a + b) = a^2- b^2 même si on peut toujours développer comme à l’exemple 2 :

D=(365)(36+5)=(36)2(5)2=9×625=29D = (3\sqrt{6} - 5)(3\sqrt{6} + 5) = (3\sqrt{6})^2 -(5)^2 = 9 \times 6 - 25 = 29.

Exercices et solutions

Réponse : A=2514\boxed{A = 2\sqrt{5} - 14}

Réponse : B=222\boxed{B = 2\sqrt{2} - 2}

Réponse : C=11311\boxed{C = 11\sqrt{3} - 11}

Réponse : D=6+231\boxed{D = \sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{3} - 1}

Réponse : E=23515\boxed{E = 23\sqrt{5} - 15}

Réponse : F=1393\boxed{F = -13 - 9\sqrt{3}}

Réponse : G=9\boxed{G = -9}

Réponse : H=13\boxed{H = -13}

Réponse : I=2\boxed{I = -2}

Réponse : J=1465\boxed{J = 14 - 6\sqrt{5}}

Réponse : K=1343\boxed{K = 13 - 4\sqrt{3}}

Réponse : L=526\boxed{L = 5 - 2\sqrt{6}}

Réponse : M=49+125\boxed{M = 49 + 12\sqrt{5}}

Réponse : N=...\boxed{N =...}

Réponse : O=...\boxed{O =...}

Réponse : P=...\boxed{P = ...}

Par Zauctore