title: Développement et racines carrées
collection: fiche-de-cours
exercices: ""
description: 'Cours de maths complet sur le développement des racines carrées pour les élèves de Troisième. Règles de calcul, développement simple, double développement, identités remarquables, exercices et vidéos sur Mathforu. '
memo: "1"

Développement et racines carrées

Pour les élèves de Troisième.

Voici un document illustrant le développement de produits contenant des racines carrées.

Le document contient des exercices avec solution.

Exemples

• N° 1 : Développement simple.

Développer et réduire $A = \sqrt{6} (3 + 2\sqrt{6})$.

Avec la distributivité, chaque terme contenu entre parenthèses est multiplié par $\sqrt{6}$ :

$A = \sqrt{6}(3 + 2\sqrt{6}) = \sqrt{6} \times 3 + \sqrt{6} \times 2\sqrt{6} = 3\sqrt{6} + 2(\sqrt{6})^2 = \boxed{3\sqrt{6} + 12}$.

• N° 2 : Double développement.

Développer et réduire $B = (1 + 2\sqrt{2})(3 - \sqrt{2})$.

Chaque terme de la deuxième parenthèse est multiplié par chaque terme de la première :

$B = (1 + 2\sqrt{2})(3 - \sqrt{2}) = 3 - \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} - 2(\sqrt{2})^2 = 3 + 5\sqrt{2} - 4 = \boxed{5 \sqrt{2} - 1}$.

• N°3 : Identité $(a + b)^2$.

Développer et réduire C = 2p5 + p22.

On peut bien entendu écrire $C = (2\sqrt{5} + \sqrt{2})(2\sqrt{5} + \sqrt{2})$ et appliquer la méthode précédente.

On pourra plutôt utiliser l’identité $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

$C = (2\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = (2\sqrt{5})^2 + 2 \times 2\sqrt{5} \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 \times 5 + 4\sqrt{10} + 2 = \boxed{22 + 4\sqrt{10}}$.

Remarque : on a bien $(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \times \sqrt{5}^2= 4 \times 5 = 20$.

• N°4 : Identité $(a - b)(a + b)$

Développer et réduire $D = (3\sqrt{6} - 5)(3\sqrt{6} + 5)$

Ici aussi, on utilise plutôt l’identité $(a - b)(a + b) = a^2- b^2$ même si on peut toujours développer comme à l’exemple 2 :

$D = (3\sqrt{6} - 5)(3\sqrt{6} + 5) = (3\sqrt{6})^2 -(5)^2 = 9 \times 6 - 25 = 29$.

Exercices et solutions (à démontrer)

• $A = (1 - \sqrt{5})(3\sqrt{5} + 1) \implies A = 2\sqrt{5} - 14$
• $B = (3 - 2\sqrt{2})(2 + 2 \sqrt{2}) \implies B = 2\sqrt{2} - 2$
• $C = (2\sqrt{3} - 1)(5 - \sqrt{3}) \implies C = 11\sqrt{3} - 11$
• $D = (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{3} + 1) \implies D = \sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{3} - 1$
• $E = (5\sqrt{5} + 2)(5 - \sqrt{5}) \implies E = 23\sqrt{5} - 15$
• $F = (2+\sqrt{3})(1-5\sqrt{3}) \implies F=-13-9\sqrt{3}$
• $G = (2 + \sqrt{13})(2 - \sqrt{13}) \implies G = -9$
• $H = (2\sqrt{3} - 5)(2 \sqrt{3} + 5) \implies H = -13$
• $I = (\sqrt{5} - \sqrt{7})(\sqrt{5} + \sqrt{7}) \implies I = -2$
• $J = (3 - \sqrt{5})^2 \implies J = 14 - 6\sqrt{5}$
• $K = (2\sqrt{3} - 1)^2 \implies K = 13 - 4\sqrt{3}$
• $L = (\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 \implies L = 5 - 2\sqrt{6}$
• $M = (3\sqrt{5} + 2)^2 \implies M = 49 + 12\sqrt{5}$
• $N = (4 + 5\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{2} - 3)(3\sqrt{2} + 7) \implies N =...$
• $O = (3 - 2\sqrt{7})^2 - (4\sqrt{7} - 3)(5\sqrt{7} + 7) \implies O =...$
• $P = \bigg(\sqrt{{7} + 3\sqrt{5}} - \sqrt{7 - 3\sqrt{5}}\bigg)^2 \implies P =...$

Par Zauctore