Échantillonnage en Term ES

I. Fluctuation d'échantillonnage et prise de décision

1. Fluctuation d'échantillonnage

Exemple :
On tire au hasars une boule dans une urne dans laquelle la proportion des boules blanches est $0{,}6$.
Voici les fréquences obtenues à partir de 10 échantillons de taille 100.

$0{,}51 ; 0{,}62;0{,}68;0{,}55;0{,}47;0{,}6;0{,}69;0{,}58;0{,}61;0{,}67$

Les fréquences observées fluctuent. Ce phénomène s'appelle fluctuation d'échantillonnage.

$F_n$ prend ses valeurs dans l'intervalle $I_n$ avec une probabilité proche de $0{,}95$ quand $n$ devient grand.
On utilisera cette approximation sous les conditions suivantes :

$n\geq 30$

$np\geq 5$

$n(1-p)\geq 5$

On note $I_n$ l'intervalle de fluctation asymptotique de la population de garçons.
$p=0{,}5\ ; n=100\ ; n\times p=50\ ; n\times (1-p)=50$
Les conditions précédentes sont bien réunies ici.

$I_n=\left[ 0{,}5-\dfrac{1{,}96\sqrt{0{,}5(1-0{,}5)}}{\sqrt 100};0{,}5+\dfrac{1{,}96\sqrt{0{,}5(1-0{,}5)}}{\sqrt 100}\right]$

$I_n=\lbrack 0{,}402\ ; 0{,}598\rbrack$

On peut interpréter ce résultats de la manière suivante :

• Dans au moins 95% des cas (avec une probabilité de $0{,}95$), la proportion de garçons dans l'échantillon sera comprise entre $40{,}2\%$ et $59{,}8\%$
• Il y aura au moins entre $40$ et $60$ garçons parmi les $100$ personnes.

Remarque :
En 2nd et en 1ère, on étudie d'autres intervalles de fluctuation moins précis.

• En 2nd : $\left[ p-\dfrac{1}{\sqrt n}\right]$
• En 1ère : $\left[\dfrac{a}{n};\dfrac{b}{n}\right]$, où $a$ et $b$ sont déterminés à l'aide de la loi binomiale.

2. Prise de décision

Hypothèse : "La pièce est équilibrée"
$p=0{,}5\ ; n=100\ ; n\times p=50\ ; n\times (1-p)=50$
Les conditions sont respectées.
On note $I_n$ l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95%.

$I_n=\left[ p-\dfrac{1{,}96\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n};p+\dfrac{1{,}96\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\right]$

$I_n=\lbrack 0{,}402\ ; 0{,}598\rbrack$

Soit $f$ la fréquence observée : $f=\dfrac{30}{100}=0{,}3$
$f\notin I_n$
On rejète l'hypothèse au seuil de 95%. On est sûr à 95% que la pièce n'est pa truquée, avec donc un risque d'erreur de 5%.

II. Intervalle de confiance

On interroge 100 personnes, donc $n=100$.
Soit $f$ la fréquence observée : $f=0{,}63$

$nf=63>5$

$n(1-f)=37>5$

Soit $I_n$ l'intervalle de confiance de $p$ au niveau de confiance $0{,}95$.

$\begin{array}{ccc} I_n&=&\left[f-\dfrac{1}{\sqrt n}\ ; f+\dfrac{1}{\sqrt n}\right]\\ &=&\left[0{,}63-\dfrac{1}{10}\ ; 0{,}63+\dfrac{1}{10}\right]\\ &=&\lbrack 0{,}53\ ; 0{,}73\rbrack\\ \end{array}$

On peut alors interpréter que dans 95% des cas, le candidat A obtiendra entre $53\%$ et $73\%$ des votes.

Remarque :
Plus l'échantillon est grand, plus l'intervalle est précis. La longueur ou l'amplitude de l'intervalle de confiance indique la précision obtenue. L'amplitude de l'intervalle est égale à $\dfrac{2}{\sqrt n}$.
Si nous voulons une précision inférieure à $t\%$, on devra résoudre l'inéquation

$\dfrac{2}{\sqrt n}\leq \dfrac{t}{100}$