Probabilités en 2nd

I. Vocabulaire des évènements

Définitions :

On appelle expérience aléatoire, une expérience renouvelable dont les résultats possibles sont connus sans qu'on puisse déterminer à l'avance lequel sera réalisé.
Un résultat de cette expérience est appelé issue ou éventualité.
L'ensemble formé par les éventualités est appelé univers. Il est souvent noté $\Omega$ (lire « oméga
- On appelle événement une partie de l'univers.
- Un événement ne comprenant qu'une seule issue est appelé un événement élémentaire.
- L'événement qui ne contient aucune éventualité est l'événement impossible noté $\varnothing$ .
- L'événement composé de toutes les éventualités est appelé événement certain.
Pour tout événement $A$ , il existe un événement, noté $\bar{A}$ , et appelé événement contraire de $A$ , qui est composé des éléments de $\Omega$ qui ne sont pas dans $A$ .

Exemple : (qu'on gardera tout au long des paragraphes I. et II.)

Lancer un dé à six faces est une expérience aléatoire dont « obtenir un 2 » est une éventualité.
$\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}$
L'évènement $A$ : « Obtenir un nombre pair » est un événement que l'on peut noter : $A = \{2 ; 4 ; 6\}$
L'événement $B$ : « Obtenir un 5 » est un événement élémentaire que l'on peut noter : $B = \{5\}$
« Obtenir un 7 » est un événement impossible. « Obtenir un nombre positif » est un événement certain.
Si $A$ est l'événement « obtenir un nombre inférieur ou égal à $4$ », alors son événement contraire est : $\bar{A} =$ « obtenir un 5 ou un 6 »

II. Intersection et réunion d'événements

Définition :
Soient $A$ et $B$ deux événements.

L'intersection de $A$ et $B$ est l'événement qui regroupe les éventualités qui appartiennent à $A$ et à $B$ . On le note : $A\cap B$ (se lit " $A$ inter $B$ ")
La réunion de $A$ et $B$ est l'événement qui regroupe les éventualités qui appartiennent à $A$ ou à $B$ . On le note : $A\cup B$ (se lit " $A$ union $B$ ")

Exemple :
On considère les événements suivants :
$A$ : « Obtenir un nombre pair »
$B$ : « Obtenir un multiple de $3$ »
Décrire les événements $A\cap B$ et $A\cup B$
On a : $A = \{2 ; 4 ; 6\}$ et $B = \{3 ; 6\}$
$A\cap B$ : « Obtenir un nombre pair et multiple de 3 » $A\cap B=\{6\}$
$A\cup B$ :«Obtenir un nombre pair ou un multiple de 3» $A\cup B=\{2;3;4;6\}$

Remarques :

Lorsque $A\cap B=\varnothing$ , on dit que A et B sont disjoints ou incompatibles.
Le diagramme de Venn permet de représenter les différents événements.

III. Calcul de probabilités

Définitions :
Définir une loi de probabilité sur un univers consiste à associer à chaque issue un nombre compris entre $0$ et $1$ appelé probabilité de l'issue tel que :
– la somme des probabilités des issues est égal à $1$ .
– la probabilité d'un événement $A$ , notée $P(A)$ , est la somme des probabilités des issues qui le réalisent

Exemple :
On lance un dé truqué. Le tableau suivant regroupe les probabilités d'apparitions de chacune des faces :

$F$	1	2	3	4	5	6
$P(F)$	$0{,}3$	$0{,}1$	$0{,}2$	$0{,}1$	$0{,}1$	?

Calculer $P(6)$ :

$P(6)=1-(0{,}3+0{,}1+0{,}2+0{,}1+0{,}1)=1-0,8=0,2$

Calculer la probabilité de l'événement : $A$ : « Obtenir un nombre pair » :

$P(A) = P(2) + P(4) + P(6) = 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}4$

Propriété n°1 :

$P(\varnothing)=0$
$P(\Omega)=1$
Soit $A$ un événement, on a : $P( A )=1-P(A)$

Exemple :
Soit $A$ un événement tel que $P(A)=0{,}2$ . On a alors : $P( A )=1-P(A)=1-0{,}2=0{,}8$

Propriété n°2 :
Soient $A$ et $B$ deux événements, on a :

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

IV. Cas particulier : l'équiprobabilité

Définition :
Dire qu'il y a équiprobabilité signifie que tous les événements élémentaires de l'univers ont la même probabilité. $\textrm{ nb éléments de }dfx)$
Dans ce cas, pour un événement $A$ , on a :

$P(A)=\dfrac{\#A}{\#\Omega}$

où $\#A$ est le nombre d'éléments de l'ensemble $A$ .

Remarque :
Dans un exercice, pour signifier qu’on est dans une situation d’équiprobabilité on a généralement dans l’énoncé un expression du type :

on lance un dé non truqué,
dans une urne, il y a des boules indiscernables au toucher,
on rencontre au hasard une personne parmi ...

Exemple :
On lance un dé équilibré à 6 faces. On considère les événements :

$A$ : « Obtenir un nombre pair »
$B$ : « obtenir un diviseur de 6 ».

Comme le dé est équilibré, on a une situation d'équiprobabilité.
$A = \{2 ; 4 ; 6\}$ donc $P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$
$B = {1 ; 2 ; 3 ; 6} donc $P(B) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$

Probabilités en 2nd

I. Vocabulaire des évènements

II. Intersection et réunion d'événements

III. Calcul de probabilités

IV. Cas particulier : l'équiprobabilité

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