Vecteurs : coordonnées et colinéarité

I. Coordonnées d'un vecteur

Notation :
On note très généralement :

$\vec u \binom{x}{y}$

Exemple :
Donner les coordonnées des vecteurs suivants :

Exemple :
Dans un repère $(O ; I; J)$, on a les points $A(-2 ; 3)$, $B(4 ; -1)$ et $C(5 ; 3)$.

1. Calculer les coordonnées du vecteur ⃗AB .

On applique les formules (propriété n°2) : les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont :

$\binom{4-(-2)}{-1-3}=\binom{6}{-4}$

2. Calculer les coordonnées du point D tel que ABDC soit un parallélogramme.

On sait que $ABDC$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.
On cherche donc les coordonnées du point $D( x ; y )$ tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$. Les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$ sont $\dbinom{x_D-5}{y_D-3}$
Donc $(x_D;y_D)$ est solution du système :

$\left\{ \begin{array}{ccc} x_D-5 & = & 6 \\ y_D-3 & = & -4\\ \end{array}\right.$

c'est à dire :

$\left\{ \begin{array}{ccc} x_D & = & 11 \\ y_D & = & -1\\ \end{array}\right.$

Donc : $D(11 ; -1)$

Exemple :
On considère les vecteurs $\vec u\dbinom{2}{-1}$ et $\vec v\dbinom{3}{2}$. Les coordonnées du vecteur $\vec u +\vec v$ sont : $\dbinom{2+3}{-1+2}=\dbinom{5}{1}$.

II. Produit d'un vecteur par un réel

Exemple :
On considère le vecteur $\vec u\dbinom{2}{-5}$. Les coordonnées du vecteur $-0{,}5\vec u$ sont :

$\binom{2\times (−0{,}5)}{-5\times (-0{,}5)} = \binom{-1}{2{,}5}$

Remarque :
Ici, $\overrightarrow{AB}$ et $\lambda\overrightarrow{CD}$ ont la même direction. Leur sens et leurs normes dépendent de $\lambda$.

III. Colinéarité

Exemple :

1. Les vecteurs $\vec u\dbinom{2}{-3}$ et $\vec v\dbinom{10}{-15}$ sont-ils colinéaires ?

$10 = 2\times 5$ et $-15=-3\times 5$ donc $\vec v = 5\vec u$ donc $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.

2. Les vecteurs $\vec m\dbinom{4}{5}$ et $\vec x\dbinom{8}{-10}$ sont-ils colinéaires ?

$4\times 2 = 8$ mais $5\times 2 \neq -10$ donc $\vec m$ et $\vec w$ ne sont pas colinéaires.

Remarque :
Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan.

Exemple :
Les vecteurs $\vec u\dbinom{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{-5}{4}}$ et $\vec v\dbinom{-8}{15}$ sont-ils colinéaires ?
$\dfrac{2}{3}\times 15=10$ et $-8\times (-5)=10$ donc $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.

Exemple :
Dans un repère, on considère les points $M(0 ; -3)$, $N(10 ; 1)$ et $R(15 ; 3)$. Les points $M$, $N$ et $R$ sont-ils alignés ?

Le vecteur $\overrightarrow{MN}$ a pour coordonnées $\dbinom{10}{4}$ et le vecteur $\overrightarrow{MR}$ a pour coordonnées $\dbinom{15}{6}$.
$10\times 6=60$ et $4\times 15=60$ donc $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{MR}$ sont colinéaires. Donc $M$, $N$ et $R$ sont alignés.