Généralités sur les fonctions en 2nd

I. Notion de fonctions

Définition :
Soit D un ensemble de nombres.
Définir une fonction ff sur DD, c'est associer à chaque nombre xx de DD un unique nombre yy.

Notation :
f:xyf : x \longmapsto y ou y=f(x)y = f(x) (lire « ff de xx »)

Vocabulaire :

  • Le nombre f(x)f(x) est appelé l'image de xx par la fonction ff.
  • Si on a : y=f(x)y=f(x), alors xx est un antécédent de yy par la fonction ff.

Remarques :

  • Chaque nombre xx de l'ensemble DD a une unique image par ff.
  • Chaque nombre yy peut avoir plusieurs, un seul ou aucun antécédent(s).
  • L'ensemble de définition DD peut être l'ensemble des nombres réels (c'est-à-dire l'ensemble des nombres connus (0;5;2,3;7;2;π)(0;5;-2{,}3;-7;\sqrt 2;\pi) noté R\mathbb R , ou être constitué d'une ou plusieurs parties de R\mathbb R comme des intervalles de R\mathbb R.

Voici quelques exemples d'intervalles de R\mathbb R :

Encadrement/Comparaison Notation de l'intervalle Représentation graphique
1x21\leq x\leq 2 x[1;2]x\in\lbrack 1;2\rbrack intervalle
3<x<73 x]3;7[x\in\rbrack 3;7\lbrack intervalle
x4x\geq 4 x[4;+[x\in\lbrack 4;+\infty\lbrack intervalle
x<5x<5 x];5[x\in\rbrack -\infty;5\lbrack intervalle

II. Différentes représentations d'une fonction

Il existe plusieurs façons de présenter une fonction : une expression algébrique , un tableau de valeurs ou une courbe.

1. Avec une expression algébrique

Soit ff une fonction définie sur DD et xDx\in D. L'expression algébrique d'une fonction donne directement f(x)f(x) en fonction de xx comme un programme de calcul.

Exemple : soit ff une fonction définie par le programme de calcul suivant :

Programme Expression algébrique
Choisir un nombre xx
Soustraire 44 x4x-4
Élever le résultat au carré (x4)2(x-4)^2

La fonction liée au programme est : f(x)=(x4)2f(x)=(x-4)^2

Exemples de calculs d'images/d'antécédents d'un nombre :
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb R par : f(x)=3x+5f(x)= -3x + 5

  • Calculer l'image de 1-1 et de 44 par ff.

Pour calculer l'image d'un nombre par f, on remplace tous les x dans l'expression par ce nombre.

f(1)=3×(1)+5=3+5=8f (-1)=-3\times (-1)+ 5=3+ 5=8
L'image de 1-1 par ff est 88.
f(4)=3×4+5=12+5=7f (4)=-3\times 4+ 5=-12+ 5=-7
L'image de 44 par ff est 7-7.

  • Calculer, s'il en existe, le ou les antécédents par ff de 2323.

Pour calculer un antécédent de 2323, on note xx un nombre dont l'image par ff est 2323. Il faut donc résoudre l'équation f(x)=23f(x) = 23

C'est-à-dire, ici :

3x+5=233x=18x=183x=6\begin{array}{ccc} -3x + 5 &=& 23\\ -3x &=& 18\\ x &=& \dfrac{18}{-3}\\ x &=& -6 \end{array}

L'antécédent de 2323 par ff est 6-6.

2. Avec un tableau

Un tableau de valeurs d'une fonction donne sur la première ligne différentes valeurs de xx et associe à chacun une unique image sur la deuxième ligne.

Pour la recherche d'images, on utilise le tableau du haut vers le bas. Pour la recherche des antécédents, on l'utilise du bas vers le haut.

Exemple :
Avant une compétition, on effectue une pesée de boxeurs numérotés de 1 à 8. Le tableau suivant indique les résultats obtenus :

Numéro de boxeur 11 22 33 44 55 66 77 88
Poids en kg 72,572{,}5 7070 6969 7070 69,569{,}5 7373 72,572{,}5 7070

On définit ainsi une fonction ff associant à chaque numéro de boxeur son poids.

  1. L'ensemble de définition de la fonction ff est {1;8}\{1;8\}
    Remarque : ici, l'ensemble de définition n'est pas un intervalle mais un ensemble fini.
  2. L'image de 33 par la fonction ff est 6969.
    L'image de 66 par la fonction ff est 7373.
  3. Les antécédents de 7070 sont 44 et 88.

Lien avec une expression algébrique : lorsqu'une fonction est donnée par son expression algébrique, on peut réaliser un tableau de valeurs de la fonction. Il suffira de calculer certaines images de nombres choisis.

3. Avec une courbe

Définition :
Soit ff une fonction dont l'ensemble de définition est DD.
La courbe représentative (ou représentation graphique) notée Cf\mathcal C_f de la fonction ff est l'ensemble des points du plan de coordonnées (x;f(x))(x ; f(x)) où xx est un élément de DD.
On dit que la courbe Cf\mathcal C_f a pour équation y=f(x)y=f(x).

Exemple :
On donne ci-contre la représentation graphique d'une fonction ff définie sur l'intervalle [6;6]\lbrack -6 ; 6\rbrack.
courbe-fonction

Pour lire l'image d'un nombre, on place xx sur l'axe des abscisses puis on se déplace verticalement pour rencontrer Cf\mathcal C_f et on lit f(x)f(x) sur l'axe des ordonnées.

L'image de 55 est 33 et l'image de 2-2 est 00.

Pour trouver le ou le antécédents d'un nombre, on trace une droite horizontale passant par cette valeur sur l'axe des ordonnées puis à partir des points d'intersection on se déplace verticalement vers l'axe des abscisses pour lire les antécédents.

D'après le graphique, l'antécédents de 3-3 est 5-5 et les antécédents de 22 sont : 11, 22 et 4,7\approx 4{,}7.

Lien avec une expression algébrique : On considère la fonction gg définie sur R\mathbb R par: g(x)=5xx2+1g(x)=\dfrac{5x}{x^2+1}.

On souhaite tracer la portion de la courbe représentative de cette fonction sur l'intervalle [3;2]\lbrack -3;2\rbrack.

  • On commence par compléter un tableau de valeurs :
xx 3-3 2,5-2{,}5 2-2 1,5-1{,}5 1-1 0,5-0{,}5 00 0,50{,}5 11 1,51{,}5 22
g(x)g(x) 1,5-1{,}5 1,72\approx -1{,}72 2-2 2,3\approx -2{,}3 2,5-2{,}5 2-2 00 22 2,52{,}5 2,3\approx 2{,}3 22
  • Puis on place les points de coordonnées (x;g(x))(x ; g(x)) dans un repère qu'on relie à la main. (On pourra s'aider de la calculatrice pour visualiser l'allure de la représentation graphique.)
    courbe-de-fonction

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