Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction

Comment détermine-t-on l'ensemble de définition d'une fonction ?

C'est une question qui peut être posée aux élèves de seconde.

Cette notion reste néanmoins importante dans toutes les autres classes pour bien comprendre le mécanisme des fonctions.

Ce cours, assorti d'exemples face aux situations les plus courantes, ainsi que d'une vidéo explicative, cherche à donner des explications simples et concrètes sur l'ensemble de définition.

Plan du cours

Après un bref rappel théorique de la définition de l'ensemble de définition (ou domaine de définition), le cours explique comment on trouve cet ensemble de définition des 2 manières suivantes :

  • à partir de l'expression d'une fonction
  • à partir de sa représentation graphique.

Qu’est-ce-que l’ensemble de définition ?

Pour comprendre ce qu’est l’ensemble de définition (ou domaine de définition), il faut déjà avoir bien compris ce qu’est une fonction.

Dans un autre article, nous avons expliqué qu’une fonction est un procédé qui associe un nombre xx à un autre nombre noté f(x)f(x) :
f:xf:x f(x)\longrightarrow f(x)

Et l’ensemble de définition dans tout ça ?

C’est l’ensemble des nombres de départ : c’est l’ensemble des nombres xx tels que leur image f(x)f(x) existe. On peut le noter DfDf.

Cet ensemble peut être simplement donné par l’énoncé de l’exercice. La phrase qui l’annonce est « la fonction ff est définie sur …». Par exemple la fonction ff est définie sur [0;+[\mathinner{\mathopen{[}0 ;+\infty\mathclose{[}}

ainsi les nombres xx appartenant à l’intervalle [0;+[\mathinner{\mathopen{[}0 ;+\infty\mathclose{[}} pourront avoir une image par ff. Les autres nombres ne pourront pas en avoir.

Mais parfois, l’énoncé demande à l’élève de déterminer lui-même l’ensemble de définition, soit à partir de l’expression de f(x)f(x), soit à partir de la représentation graphique de ff. Voyons ces 2 méthodes distinctes.

Déterminer l’ensemble de définition à partir de l’expression de f(x)f(x)

Si on donne l’expression d’une fonction ff, par exemple f(x)=x2+3xf(x)=x^2+3x, l’ensemble de définition a priori sera l’ensemble de tous les réels de -\infty jusqu’à ++\infty. On pourra alors noter Df=RDf=\mathbb{R}.

Pourquoi n’en serait-il pas toujours ainsi ? Tout simplement parce que certaines opérations ne sont pas autorisées. (On dit qu’elles ne sont pas définies). Pour vous en rendre compte, vous pouvez essayer de taper certaines opérations, 1:01:0 ou 3\sqrt{-3} : la calculatrice renverra un message d’erreur.

En seconde, il faut connaître 2 opérations interdites :

  • diviser par zéro
  • racine carrée d’un nombre négatif.

1er exemple

Quel est l’ensemble de définition de la fonction ff pour :

f(x)=x2x4f(x)=\dfrac{x}{2x-4}

f(x)f(x) existe si et seulement si :
2x402x-4\neq 0
2x42x\neq 4
x2x \neq 2

Tous les nombres réels sauf 22 pourront donc avoir une image.

On note :

Df=RDf= \mathbb{R}2-{2} ou Df=RDf=\mathbb{R} \ 2{2}

ou encore Df=Df= ];+2[\mathinner{\mathopen{]}-\infty ;+ 2\mathclose{[}} \cup ]+2;+[\mathinner{\mathopen{]}+2 ;+\infty\mathclose{[}}

2ème exemple

Quel est l’ensemble de définition de la fonction gg pour :

g(x)=82xg(x) = \sqrt{8-2x}

g(x)g(x) existe si et seulement si :
82x08-2x \geq 0
2x8-2x \geq -8
x4x \leq 4

Tous les nombres inférieurs à 44 pourront avoir une image. On note :

Dg=Dg= ];4]\mathinner{\mathopen{]}-\infty ; 4\mathclose{]}}

Déterminer à partir de la courbe représentative de ff

Je rappelle ce que j’avais expliqué dans le précédent article : la courbe représentative de ff est l’ensemble des points donc les coordonnées sont (x;f(x))( x ; f(x) ).

Si l’on veut trouver l’ensemble de définition, autrement dit l’ensemble des xx, il suffit de lire graphiquement l’ensemble des abscisses des points de la courbe représentant ff.

Voici un exemple illustré :

exemple_determination_domaine_definition_fonction_courbe_representative

On lit les abscisses des points de la courbe représentative de f. Ici nous avons :

Df=Df= [4;5]\mathinner{\mathopen{[}-4 ; 5\mathclose{]}}

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Par Thierry

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