Évolutions en pourcentages

En ce début d'année, de fréquentes questions reviennent sur les pourcentages associés à des évolutions. Voici une note de cours pour fixer les idées. Je rappelle que la connaissance de leçons est indispensable pour faire les exercices sereinement.

1. Multiplicateur associé à une évolution

On donne ici les deux résultats principaux à connaître sur les hausses/baisses en pourcentage.

Dans ce qui suit, on considère que la lettre xx désigne un taux de pourcentage positif.

Propriété 1

Une hausse de xx % sur une grandeur YY est traduite en multipliant YY par 1+x1001 + \dfrac{x}{100}.

Exemples :

  • le prix d'un objet augmente de 3030 % si et seulement si ce prix est multiplié par 1+301001 + \frac{30}{100}, c'est-à-dire par 1,31{,}3 ;

  • un prix est multiplié par 2,52{,}5 si et seulement s'il augmente de 150150 % ; en effet, on a 1+x100=2,5x=1501 + \dfrac{x}{100} = 2{,}5 \Leftrightarrow x=150 .

Démonstration

Nommons YiY_i la valeur initiale de la grandeur YY.

On l'augmente de xx % : la valeur de la hausse hh est donc

h=x100×Yih = \dfrac{x}{100} \times Y_i

La valeur finale YfY_f de la grandeur YY est donc égale à :

Yf=Yi+h=Yi+x100×YiY_f = Y_i +h = Y_i + \dfrac{x}{100} \times Y_i

D'où, en factorisant par YiY_i, l'expression :

Yf=Yi×(1+x100)Y_f = Y_i \times \bigg(1 + \dfrac{x}{100}\bigg)

Propriété 2

Une baisse de xx % sur une grandeur YY est traduite en multipliant YY par 1x1001 - \dfrac{x}{100}.

Exemples :

  • diminuer un prix de 1010% revient à le multiplier par 0,90{,}9;

  • multiplier un prix par 0,750{,}75 revient à le diminuer de 2525%, puisque 125100=0,751 - \dfrac{25}{100}=0,75

Un point de méthode

  • Retrouver une valeur initiale après évolution.

Supposons qu'un prix ait été augmenté de 1515 %, pour être fixé à 32,6632{,}66€. Quel était la valeur initiale de ce prix ?

Avec le multiplicateur 1+15100=1,151 + \dfrac{15}{100} = 1{,}15, on pose tout simplement l'équation 1,15x=32,661{,}15x = 32{,}66€ grâce à laquelle on trouve 28,428{,}4€.

2. Evolutions successives

On donne quelques conséquences des propriétés 11 et 22.

Propriété 3

Une hausse de xx % et une baisse de yy % sont commutatives : on peut les effectuer dans n'importe quel ordre.

En effet, en appliquant d'abord la hausse de xx %, on multiplie la valeur initiale YY par 1+x1001 + \dfrac{x}{100}; ensuite, en appliquant la baisse de yy % à la valeur intermédiaire de YY, on multiplie par 1y1001 - \dfrac{y}{100} pour obtenir la valeur finale de YY.

En définitive, on a Yf=(1y100)×(1+x100)×YiY_f = \bigg(1 - \dfrac{y}{100}\bigg) \times \bigg(1 + \dfrac{x}{100}\bigg) \times Y_i

Ceci montre la propriété 3, puisque l'on a :

(1y100)×(1+x100)=(1+x100)×(1y100)\bigg(1 - \dfrac{y}{100}\bigg) \times \bigg(1 + \dfrac{x}{100}\bigg) = \bigg(1 + \dfrac{x}{100}\bigg) \times \bigg(1 - \dfrac{y}{100}\bigg).

Conséquence :

Diminuer de 1010 % puis augmenter de 2020 % revient au même qu'augmenter de 2020 % puis baisser de 1010 %.

D'ailleurs, cela revient à multiplier par 0,9×1,2=1,080{,}9 \times 1{,}2=1{,}08 : c'est une hausse de 88 %.

Ceci illustre le fait que les évolutions en pourcentage n'ont pas de propriété vis-à-vis de l'addition : on se gardera d'ajouter des taux d'évolution !

Propriété 4

Une hausse et une baisse du même taux ne se compensent pas : elles se résument toujours à une baisse.

En effet, on a :
(1+x100)×(1x100)=1x2100001\bigg(1 + \dfrac{x}{100}\bigg) \times \bigg(1 - \dfrac{x}{100}\bigg) = 1 - \dfrac{x^2}{10 000} \neq 1.

Exemple :

Une baisse de 3030% suivie d'une hausse de 3030% reviennent à une baisse de 99%.

En effet, on a (1+0,30)(10,30)=10,09(1+ 0{,}30)(1- 0{,}30) =1 - 0{,}09.

3. Quelques compléments qualitatifs

En conséquence de la traduction par multiplicateur des hausses ou baisses exprimées en pourcentages, on peut énoncer les faits suivants (qui surprennent parfois le néophyte) :

  • une hausse de xx% n'est jamais compensée par une baisse de xx % et de même, une baisse de xx % n'est jamais compensée par une hausse de xx % (simple reformulation de la propriété 4) ;

  • pour des hausses et des baisses successives exprimées en pourcentages, on n'ajoute (surtout) pas les taux : il faut multiplier les multiplicateurs (conséquence de la propriété 3) ;

  • si une même hausse de xx % est appliquée plusieurs fois, par exemple nn fois, alors le multiplicateur global est égal à:

(1+x100)n\bigg(1 + \dfrac{x}{100}\bigg)^n

Et si le taux xx % est petit, alors, une approximation du multiplicateur est donnée par (1+n×x100)\bigg(1 + \dfrac{n \times x}{100}\bigg) , c'est-à-dire que la hausse globale est approximativement de n×xn \times x %.

En effet, on a (1+x)n=1+nx+x2P(x)(1+x)^n = 1 + nx + x^2 P(x), où PP est un polynôme en xx ; alors, avec xx "petit" (ce qui signifie proche de 00), la quantité x2P(x)x^2 P(x) est négligeable devant les premiers termes 11 et (nx)(n x).

Application du dernier point ci-dessus.

On place une somme à un faible taux annuel, comme 0,50{,}5% ; au bout de combien de temps le capital aura t-il doublé ?

On augmente le capital de 0,50{,}5% la première année ; ce nouveau capital est à son tour augmenté de 0,50{,}5% la seconde année, etc.

Voici : le capital après nn années, sera 1,005n fois le capital initial. Il s'agit donc de résoudre l'inéquation 1,005n21{,}005^n \geqslant 2. Ceci peut se faire par tatônnement, ou en recourant aux logarithmes.

Mais pour un calcul rapide, on utilise l'approximation estimant que le capital est à-peu-près (1+0,005n)(1+0{,}005 n) fois la somme initiale. Il s'agit ici de résoudre l'inéquation 1+0,005n21+0{,}005n \geqslant 2, c'est-à-dire 0,005n10{,}005n \geqslant 1. Il suffit donc que nn dépasse 200200.

Bien entendu, ce résultat est très approximatif, puisque la résolution "exacte" conduit à n139n \geqslant 139, mais l'ordre de grandeur est correct, non ?

4. Taux moyen

Lorsqu'une quantité Q0Q_0 subit plusieurs évolutions successives quelconques en exprimées en pourcentage pour atteindre une valeur finale QnQ_n, on peut chercher quelle serait le taux constant qu'il faudrait appliquer autant de fois à la quantité initiale pour obtenir le même effet.

Plus précisément, si l'on a :

Q0Q1Q_0 \rightarrow Q_1 par une hausse de aa %
Q1Q2Q_1 \rightarrow Q_2 par une baisse de bb %
...
Qn1QnQ_{n-1} \rightarrow Q_n par une hausse de cc %

alors on sait que :

Qn=(1+a100)(1b100)...(1+c100)Q0Q_n = \bigg(1 + \dfrac{a}{100}\bigg)\bigg(1 - \dfrac{b}{100}\bigg)...\bigg(1 + \dfrac{c}{100}\bigg)Q_0

On cherche le taux constant tt %, tel que :

Qn=(1±t100)nQ0Q_n = \bigg(1 \pm \dfrac{t}{100}\bigg)^n Q_0

C'est précisément ce taux tt% qui est appelé taux moyen d'évolution entre Q0Q_0 et QnQ_n : bien entendu, ce n'est certainement pas la moyenne des taux, piège classique à éviter !

Exemple

Voici un exemple pour fixer les idées :

Un capital C0=2500C_0 = 2500 € initial, est placé pendant quatre ans, la première année à +5+5 %, la seconde année à +8+8 %, la 3e année à +13+13 % et la quatrième et dernière année à +21+21 % (taux imaginaires).

Quel est le taux moyen de ce placement ?

Au bout des quatre années, le capital est égal à:

Q4=1,05×1,08×1,13×1,21×2500=3876,30Q_4 = 1{,}05 \times 1{,}08 \times 1{,}13 \times 1{,}21 \times 2500 = 3876{,}30€ au centime près.

Avec le taux moyen tt%, on a aussi : Q4=(1+t100)4×2500Q_4 = (1+\frac{t}{100})^4 \times 2500.

Il s'agit donc de déterminer tt tel que :
(1+t100)4=3876,325001,55052(1+\frac{t}{100})^4 =\dfrac{3876{,}3}{2500} \simeq 1{,}55052

Alors, avec la racine-quatrième, on a :
1+t1001,5505241,1158851+\frac{t}{100} \simeq \sqrt[4\,]{1{,}55052} \simeq 1{,}115885.

d'où t(1,1158851)×100t \simeq (1{,}115885 - 1) \times 100

soit t11,5885t \simeq 11{,}5885

Vérification :

On a bien (1+0,115885)4×25003876,30(1+0{,}115885)^4 \times 2500 \approx 3876{,}30.

Conclusion :

Une hausse constante de 11,5588511{,}55885 % par an pendant quatre ans conduit à la même évolution que des hausses successives de 55 %, puis 88 % puis 1313 % et enfin 2121 % par an.

Remarque (un autre calcul de ce taux moyen) :

La valeur du capital initial est sans importance, le taux moyen ne dépend que des taux "intermédiaires".

On a en fait cette égalité, qui ne porte que sur les multiplicateurs
(1+t100)4=1,05×1,08×1,13×1,21=1,5505182\bigg(1+\dfrac{t}{100}\bigg)^4 = 1{,}05 \times 1{,}08 \times 1{,}13 \times 1{,}21 = 1{,}5505182

donc on a :

t=1,550518241)×10011,558843t = \sqrt[4\,]{1{,}5505182} -1) \times 100 \simeq 11{,}558843

ce qui est "sensiblement" le même résultat.


Par Zauctore

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