Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Ce cours explique comment l'on peut trouver deux nombres dont on connait la somme SS et le produit PP, mais sans passer par la résolution de l'équation du second degré x2Sx+P=0x^2-Sx+P=0.

Ce cours apporte ma modeste contribution à l’excellent article proposé par Zauctore dans un sujet de 1ère S « Résolution d'un système : trouver deux nombres dont la somme et le produit sont connus ».

Problème(s)

Le problème se situe dans l’ensemble des nombres réels, car pour les entiers, les méthodes sont différentes.

Je distingue trois problèmes :

1. Trouver deux nombres (réels, historiquement positifs) connaissant leur somme SS et leur produit PP.
2. Résoudre une équation du second degré .
3. "Obtenir" une racine carrée.

Remarques :

La résolution du troisième problème est indispensable à celle des deux autres.

Mais il s’agit d’un problème que l’on sait résoudre depuis la plus haute Antiquité (Babyloniens, Euclide, etc).

Le problème N° 2 est résolu depuis Al Khawarizmi.
Le problème N° 1 est plus ancien : les Babyloniens savaient le résoudre.
En revanche , le lien existant entre les problèmes 1 et 2 (article de Zauctore) est plus récent (mais j’ignore de quand il date).

Méthode de résolution

Voici comment les Babyloniens résolvaient le problème N° 1.

Remarque
Attention, la présentation est nécessairement anachronique (sinon seuls les spécialistes pourraient la comprendre). J'utilise l’écriture et les notations actuelles.

Résolution

On cherche donc deux nombres xx et yy tels que :

x+y=Sx + y = S et x×y=Px \times y = P

On peut toujours supposer que xx est le plus grand.

Remarque :

ils ne peuvent être égaux que si S2=4PS^2 = 4P , auquel cas x=y=S2x = y = \frac {S}{2}.

Soit dd la demi-différence des deux nombres : d=xy2d = \frac {x-y}{2}

On a donc :
x=S2+dx = \frac{S}{2} +d et yy= S2\frac{S}{2} d- d

D’où :

P=(S2+d)×(S2d)P= (\frac {S}{2} + d)\times (\frac{S}{2}-d)

P=(S2)2d2P= (\frac {S}{2})^2 - d ^2 (« identité remarquable » connue des Babyloniens )

Donc :

d2=(S2)2Pd^2 = (\frac{S}{2})^2 - P

Et

d=(S2)2Pd =\sqrt {(\frac{S}{2})^2 - P} , que savaient calculer les Babyloniens .

On a donc :

x+y=Sx + y = S , et xy=2dx-y =2d

Et on est ainsi ramené à un autre problème connu : trouver deux nombres connaissant leur somme et leur différence.

Exemple :

Trouver deux nombres dont la somme vaut 17,417{,}4 et le produit vaut 3636.
On a donc : S/2=8,7S / 2 = 8{,}7
Et donc : d2=8,7236d^2=8{,}7^2 - 36 =75,6936=39,69=75{,}69- 36=39{,}69
Donc : d=39,69=6,3d =\sqrt{39{,}69} = 6{,}3
Donc : x=8,7+6,3=15x = 8,7 + 6,3 = 15 et y=8,76,3=2,4y=8{,}7 - 6{,}3 = 2{,}4

Variante

Une variante à cette méthode consiste à utiliser « l’identité remarquable » (connue aussi des Grecs) :
(x+y)2(xy)2=4xy(x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy

D’où :

(xy)2=S24P(x-y)^2 = S^2- 4P

Et donc :

xy=S24Px-y = \sqrt{S^2 - 4P}

Conclusion

On est à nouveau ramené à trouver deux nombres connaissant leur somme et leur différence .


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