Résoudre un système avec les formules de Cramer

En classe de troisième, on apprend la résolution des systèmes de 2 équations à 2 inconnues par la méthode des combinaisons ou par celle de la substitution.

Hors des programmes scolaires actuels, les formules de Cramer donnent les solutions de façon automatique. C'est d'ailleurs la méthode de résolution qu'utilisent les calculatrices "collège".

Méthode de résolution d'un système par les formules de Cramer

Contexte

On considère des systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues (x;y)(x;y) de la forme :

(1)(1) {ax+by=cax+by=c\begin{cases} ax+by=c\\ a'x+b'y=c'\end{cases}

a,b,c,a,ba,b,c,a',b' et cc' sont des constantes fixées.

Déterminant

Le déterminant du système (1)(1) est défini par :

(2)(2) abab\begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix} =abab=ab'-a'b

C'est aussi le déterminant des vecteurs colonnes (ab)\dbinom{a}{b} ou (ab)\dbinom{a'}{b'} et comme on le voit parfois en classe de Première, pour la colinéarité.

On rappelle que :

Les vecteurs (ab)\dbinom{a}{b} et (ab)\dbinom{a'}{b'} sont colinéaires si et seulement si abab=0ab'-a'b=0

C'est-à-dire si et seulement si leur déterminant est nul.

Application aux systèmes 2×22\times2

Le système (1)(1) a un couple-solution si et seulement si son déterminant est non nul :

(3)(3) abab\begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix} 0\neq0

Dans ce cas, les formules de Cramer pour le système (1)(1) donnent l'expression des solutions en fonction des coefficients du système :

(4)(4) x=x=cbcbabab\frac{\begin{vmatrix} c & b \\ c'& b'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ a' & b'\end{vmatrix}} =cbcbabab=\dfrac{cb'-c'b}{ab'-a'b} et y=y=acacabab\frac{\begin{vmatrix} a & c\\ a'& c'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ a' & b'\end{vmatrix}} =acacabab=\dfrac{ac'-a'c}{ab'-a'b}

Exemple

Par exemple, pour le système :

{4x2y=53x4y=1\begin{cases} 4x-2y=5 \\ 3x-4y=1 \end{cases}

Le déterminant est :

4×(4)3×(2)=104\times(-4)-3\times(-2) = -10

Les solutions du système sont donc :

x=x=52144234\dfrac{\begin{vmatrix} 5& -2\\ 1 & -4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 4 & -2\\ 3 & -4\end{vmatrix}} =5×(4)1×(2)10=\dfrac{5\times (-4) -1\times (-2)}{-10}= 1,8\boxed{1{,}8}

et

y=y=45314234\dfrac{\begin{vmatrix} 4 & 5\\ 3 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 4 & -2\\ 3 & -4\end{vmatrix}} =4×15×310=\dfrac{4\times1-5\times3}{-10}=1,1=\boxed{1{,}1}

Complément

On peut ainsi retenir l'expression des solutions par la méthode de Cramer :

La valeur d'une inconnue s'exprime comme une fraction dont le dénominateur est le déterminant du système, et dont le numérateur est le déterminant qu'on en déduit en remplaçant la colonne des coefficients des termes constants avec le système

(1)(1) {ax+by=cax+by=c\begin{cases} ax+by=c\\ a'x+b'y=c'\end{cases}

On forme par exemple :

x=x=cbcbabab\frac{\begin{vmatrix} c & b \\ c'& b'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ a' & b'\end{vmatrix}}=cbcbabab=\dfrac{cb'-c'b}{ab'-a'b}

Justifications

1.1. Les droites d'équations ax+by=cax+by=c et ax+by=ca'x+b'y=c' ont un unique point d'intersection dans le plan si et seulement si elles ne sont pas parallèles, c'est à dire lorsque :

abab\begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix} 0\neq0

On se place donc dans ce cas favorable.

2.2. Si ni bb ni bb' n'est nul, alors en procédant par combinaisons, le système (1)(1) devient

{abx+bby=cbabx+bby=bc\begin{cases} ab'x+bb'y=cb'\\ a'bx+bb'y=bc'\end{cases}

et par soustraction membre à membre, on a :

(abab)x=cbcb(ab'-a'b)x=cb'-c'b

soit

ababx\begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix} x =cbcb= \begin{vmatrix} c & b \\ c' & b' \end{vmatrix}

Ce qui établit le résultat dans ce cas. L'expression de yy s'établit de la même manière.

3.3. Maintenant dans le cas où bb ou bb' est nul, on vérifie que les formules sont encore valables. En effet, supposons par exemple que b=0b=0, le système (1)(1) devient :

{ax=cax+by=c\begin{cases} ax =c\\ a'x+b'y=c'\end{cases}

On en déduit que x=cax=\dfrac{c}{a} et que aca+by=ca'\dfrac{c}{a} +b'y=c' soit y=acacaby=\dfrac{ac'-a'c}{ab'} ce qui a bien la forme

x=x=c0cba0ab\frac{\begin{vmatrix} c & 0 \\ c'& b'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & 0 \\ a' & b'\end{vmatrix}} et y=y=acaca0ab\frac{\begin{vmatrix} a & c\\ a'& c'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & 0 \\ a' & b'\end{vmatrix}}

Conclusion

La valeur d'une inconnue s'exprime comme une fraction dont le dénominateur est le déterminant du système, et dont le numérateur est le déterminant qu'on en déduit en remplaçant la colonne des coefficients de l'inconnue cherchée, par la colonne des coefficients des termes constants.


Posez vos questions

D'autres interrogations sur ce cours ? Démarrez une discussion et obtenez des réponses à des exercices pratiques.

Accéder au forum


Progressez plus vite en maths

Boostez votre moyenne en mathématiques et découvrez les outils de soutien scolaire que nous avons sélectionné pour vous : cours particulier, chatbot, soutien scolaire... vous trouverez le service qui vous correspond !

Boostez votre moyenne