Méthode de Horner pour factoriser les polynômes

Merci à Jaoira

Objectifs

Pour montrer que le polynôme $f(x)$ peut s'écrire sous la forme $(x-a)(x-b)g(x)$,

Pour trouver le polynôme $g(x)$ dans le cas où $a$ et $b$ sont connues, sachez qu'il y a une méthode très rapide (paradoxalement peu utilisée), qui s'appelle le schéma de Horner; voici le principe :

Principe du Schéma de Horner

On donne $f(x)= 4x^4-23x^2-15x-2$, on donne les racines $a = -2$ et $b = -\dfrac{1}{2}$.

On commence d'abord par $a = -2$:

Construction du tableau

Il faut construire un tableau de $3$ lignes et $n$ colonnes ou $n$ est le degré du polynôme $f$ (donc ici $n$ vaut $4$).

La colonne $1$ ne contient que le réel $a = -2$ a la 2ème ligne, les autres cases restent vides.
Dans la première ligne (à partir de la deuxième colonne), on met les coefficients du polynôme (un coefficient par colonne) en commençant par le plus haut degré et en mettant $0$ si le degré correspondant n'est pas representé dans le polynôme.
Puis on met $0$ a la ligne 2 et colonne 2.

Dans notre cas ici, la tableau sera :

Remarquez le $0$ de la ligne $1$, colonne $3$ (puisque dans $f$ il n'y a pas de terme de degré $3$).

Remplissage du tableau

Maintenant on va remplir le tableau en suivant la règle suivante :

On se place à colonne $2$; on additionne les coefficients des lignes $1$ et $2$ et on met le résultat sur la même colonne a la ligne $3$, puis on multiplie ce résultat par la racine qui se trouve a la première colonne toute seule et on met le résultat à la ligne 2 de la colonne suivante et on se place a cette colonne.

Puis on enchaîne (addition - multiplication) jusqu'à la dernière colonne.

Dans notre cas : on fait $4 + 0 = 4$, on met $4$ a la ligne 3 de la colonne 2, puis on calcule $4 \times -2 = -8$ et on met $-8$ a la ligne 2 de la colonne 3.

On se place a la colonne 3. On calcule $0+(-8)=-8$ qu'on met à la ligne $3$ de la colonne $3$, puis $-8\times-2=16$ qu'on met a la ligne 2 de la colonne 4 et on se place a la colonne 4.

On recommence : $-23+16=-7$ qu'on met a la ligne 3 de la colonne 4, puis $-7 \times -2=14$, qu'on met ligne 2, colonne 5, et on se place a la colonne 5.

$-15+14 = -1$ qu'on met a la ligne 3, colonne 5,puis $-1 \times -2=2$ qu'on met ligne 2, colonne 6. Là, c'est la dernière colonne et on s'arrête.

Bilan du tableau

Maintenant on fait le bilan des courses :

Conclusion

L'explication est peut-être verbeuse mais dès que la technique est comprise, la méthode est nettement plus rapide que la méthode d'identification des coefficients.

Et surtout, comme je l'ai souligné le schéma de Horner aide pour détecter des erreurs de calcul éventuelles, ce qui n'est pas le cas de l'autre méthode...

J'espère que c'est clair comme explication, et que plein de gens vont utiliser Horner....

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