Méthode de Horner pour factoriser les polynômes

Merci à Jaoira

Objectifs

Pour montrer que le polynôme f(x)f(x) peut s'écrire sous la forme (xa)(xb)g(x)(x-a)(x-b)g(x),

Pour trouver le polynôme g(x)g(x) dans le cas où aa et bb sont connues, sachez qu'il y a une méthode très rapide (paradoxalement peu utilisée), qui s'appelle le schéma de Horner; voici le principe :

Principe du Schéma de Horner

On donne f(x)=4x423x215x2f(x)= 4x^4-23x^2-15x-2, on donne les racines a=2a = -2 et b=12b = -\dfrac{1}{2}.

On commence d'abord par a=2a = -2:

Construction du tableau

Il faut construire un tableau de 33 lignes et nn colonnes ou nn est le degré du polynôme ff (donc ici nn vaut 44).

La colonne 11 ne contient que le réel a=2a = -2 a la 2ème ligne, les autres cases restent vides.
Dans la première ligne (à partir de la deuxième colonne), on met les coefficients du polynôme (un coefficient par colonne) en commençant par le plus haut degré et en mettant 00 si le degré correspondant n'est pas representé dans le polynôme.
Puis on met 00 a la ligne 2 et colonne 2.

Dans notre cas ici, la tableau sera :

| ... | 4 | 0 | -23 | -15 | -2 |
| :---- | :---: | ----: |
| -2 | 0 |

Remarquez le 00 de la ligne 11, colonne 33 (puisque dans ff il n'y a pas de terme de degré 33).

Remplissage du tableau

Maintenant on va remplir le tableau en suivant la règle suivante :

On se place à colonne 22; on additionne les coefficients des lignes 11 et 22 et on met le résultat sur la même colonne a la ligne 33, puis on multiplie ce résultat par la racine qui se trouve a la première colonne toute seule et on met le résultat à la ligne 2 de la colonne suivante et on se place a cette colonne.

Puis on enchaîne (addition - multiplication) jusqu'à la dernière colonne.

Dans notre cas : on fait 4+0=44 + 0 = 4, on met 44 a la ligne 3 de la colonne 2, puis on calcule 4×2=84 \times -2 = -8 et on met 8-8 a la ligne 2 de la colonne 3.

On se place a la colonne 3. On calcule 0+(8)=80+(-8)=-8 qu'on met à la ligne 33 de la colonne 33, puis 8×2=16-8\times-2=16 qu'on met a la ligne 2 de la colonne 4 et on se place a la colonne 4.

On recommence : 23+16=7-23+16=-7 qu'on met a la ligne 3 de la colonne 4, puis 7×2=14-7 \times -2=14, qu'on met ligne 2, colonne 5, et on se place a la colonne 5.

15+14=1-15+14 = -1 qu'on met a la ligne 3, colonne 5,puis 1×2=2-1 \times -2=2 qu'on met ligne 2, colonne 6. Là, c'est la dernière colonne et on s'arrête.

Bilan du tableau

Maintenant on fait le bilan des courses :

1. Si on n'a pas d'erreurs de calcul, les réels qu'on obtient à la dernière colonne (donc aux lignes 1 et 2) doivent être opposés.
2. La 3ème ligne du tableau donne les coefficients du polynôme quotient de la division de f(x)f(x) par (xa)(x-a), ce polynôme étant bien sur de degré (n1)(n-1), nn étant le degré de ff.

Dans notre cas ici, on obtient donc :
f(x)=(x+2)(4x38x27x1)f(x) = (x+2)(4x^3-8x^2-7x-1).

Maintenant il faut faire la meme chose avec 4x38x27x14x^3-8x^2-7x-1 et la racine b=12b = -\dfrac{1}{2}.

Conclusion

L'explication est peut-être verbeuse mais dès que la technique est comprise, la méthode est nettement plus rapide que la méthode d'identification des coefficients.

Et surtout, comme je l'ai souligné le schéma de Horner aide pour détecter des erreurs de calcul éventuelles, ce qui n'est pas le cas de l'autre méthode...

J'espère que c'est clair comme explication, et que plein de gens vont utiliser Horner....