Euler et la résolution des équations du premier degré.

Voici le chapitre 2 de la section IV du tome 1 de l'algèbre d'Euler, écrit en 1770.

Introduction

Dans son introduction à l'algèbre de 1770, Euler expose les notions et techniques élémentaires dans les deux tomes d'un traité qui est longtemps resté une référence.

C'est un extrait du premier tome, d'analyse déterminée, précisément dans la section IV, le chapitre 2 concernant la résolution des équations du premier degré.

La traduction est de Garnier, début XIXe - l'exemplaire dont je dispose est daté de 1807. Comme le dit le traducteur dans son Avertissement, "les moindres productions échappées à la plume d'un homme tel qu'Euler doivent inspirer le plus vif intérêt, même lorsqu'il existe des ouvrages plus complets du même genre".

Ce sont les difficultés à me procurer ce texte de référence qui me conduisent à le proposer ici dans une typographie moderne, recomposé en LaTeX.

Ch. 2 - De la résolution des équations du premier degré

2.1. (566) : x

Lorsque le nombre cherché ou inconnu est indiqué par la lettre xx, et que l’équation qu’on a obtenue est telle que l’un de ses membres renferme simplement xx, et l’autre seulement un nombre connu, comme par exemple x=25x = 25, la valeur cherchée de xx est toute trouvée.

C’est donc à parvenir à une telle forme qu’il faut toujours faire ses efforts, quelque compliquée que soit l’équation qu’on a trouvée d’abord.

Nous donnerons dans la suite les règles qui rendent ces réductions plus faciles.

2.2. (567) : x + a = b

Commençons par les cas les plus simples, et supposons d’abord qu’on soit parvenu à l’équation : x+9=16x + 9 = 16, on voit sur-le-champ que x=7x = 7.

Et en général, si on a trouvé x+a=bx + a = b, où aa et bb signifient des nombres quelconques, mais connus, on n’a qu’à soustraire a de l’un et de l’autre membre, et on obtient l’équation x=bax = b - a, qui indique la valeur de xx.

2.3. (568) : x - a + b = c

Si l’équation primitive a cette forme xa+b=cx - a + b = c, on peut commencer par ajouter de part et d’autre aa, on aura x+b=c+ax + b = c + a ; et en soustrayant bb des deux côtés, on trouvera x=c+abx = c + a - b.

Mais on peut aussi ajouter +ab+a - b de part et d’autre ; on obtient
par-là sur-le-champ x=c+abx = c + a - b.

Ainsi de x2a+3b=0x - 2a + 3b = 0, on déduit x=2a3bx = 2a - 3b,

x3a+2b=25+a+2bx=25+4ax9+6a=25+2ax=344a\begin{aligned} x - 3a + 2b = 25 + a + 2b && x = 25 + 4a\\ x - 9 + 6a = 25 + 2a && x = 34 - 4a\\ \end{aligned}

2.4. (569) : ax = b

Quand l’equation trouvée est de la forme ax=ba x = b, on divise les deux membres par aa, et on a x=bax =\dfrac{b}{a}.

Mais si l’équation est ax+bc=da x + b - c = d,

il faudra d’abord faire disparaître les termes qui accompagnent axa x, en ajoutant de part et d’autre b+cb + c ;

et après cela, en divisant par aa la nouvelle équation ax=db+ca x = d - b + c,

on aura x=db+cax = \dfrac{d - b + c}{a}.

On aurait trouvé la même chose en soustrayant +bc+b-c de l’équation
donnée ; on aurait eu pareillement ax=db+ca x = d - b + c,

et x=db+cax = \dfrac{d - b + c}{a}.

En conséquence de cela,

Si on a une équation, la résolution de cette dernière se fait ainsi : (1)(1) Equation \Longrightarrow (2)(2) Résolution \Longrightarrow (3)(3) Solution

(1)(2)(3)2x+5=172x=12x=63x8=73x=15x=54x53a=15+9a4x=20+12ax=5+3a.\begin{aligned} (1) && (2) && (3) \\ 2x + 5 = 17 && 2x = 12 && x = 6\\ 3x - 8 = 7 && 3x = 15 &&x = 5\\ 4x - 5 - 3a = 15 + 9a && 4x = 20 + 12a &&x = 5 + 3a. \end{aligned}

2.5. (570) : xa=b\dfrac{x}{a}= b

Quand la première équation aura la forme xa=b\dfrac{x}{a}= b, on multipliera des deux côtés par aa, pour avoir x=abx = ab.

Mais si l’on a xa+bc=d\dfrac{x}{a}+ b - c = d, il faudra d’abord faire : xa=db+c\dfrac{x}{a}= d - b + c,

Après quoi on obtiendra x=(db+c)a=adab+acx = (d - b + c)a = ad - ab + ac.

  • Soit 12x3=4\dfrac{1}{2}x-3=4, on a 12x=7\dfrac{1}{2}x=7 et x=14x=14
  • Soit 13x1+2a=3+a\dfrac{1}{3}x - 1 + 2a = 3 + a, on aura 13x=4a\dfrac{1}{3}x = 4 - a, et x=123ax = 12 -3a.
  • Soit xa11=a\dfrac{x}{a-1} - 1 = a, on aura xa1=a+1\dfrac{x}{a-1} = a + 1, et* x=a21x = a^2 - 1.

Note: ∗ Euler note aaaa

2.6. (571) : axb=c\dfrac{ax}{b}= c

Quand on est parvenu à une équation, telle que axb=c\dfrac{ax}{b}= c,
on multiplie d’abord par bb, afin d’avoir ax=bcax = bc,

et divisant ensuite par aa, on trouve x=bcax =\dfrac{bc}{a}.

Que si axbc=d\dfrac{ax}{b}-c =d,

on commencerait par donner à l’équation cette forme : axb=d+c\dfrac{ax}{b}= d + c,

après quoi on parviendrait à : ax=bd+bcax = bd + bc, et à x=bd+bcax =\dfrac{bd + bc}{a}.

Supposons : 23x4=1\dfrac{2}{3}x -4=1,

nous aurons : 23x=5\dfrac{2}{3}x = 5, et 2x=152x = 15 ; donc x=152=7+12x = \dfrac{15}{2}= 7 + \dfrac{1}{2}

∗ Euler note 7127 \frac{1}{2}.

Si 34x+12=5\dfrac{3}{4}x +12= 5, nous aurons 34x=512=92\dfrac{3}{4}x = 5 - \dfrac{1}{2}= \dfrac{9}{2} ; donc 3x=183x = 18, et x=6x = 6.

2.7. (572) : deux ou plusieurs termes contiennent x

Considérons à présent le cas qui peut arriver fréquemment, où deux ou plusieurs termes contiennent la lettre xx, soit dans un seul membre de l’équation, soit dans tous les deux.

Si ces termes sont tous du même côté, c’est-à-dire dans un seul
membre, comme dans l’équation x+12x+5=11x +12 x + 5 = 11, on a :

x+12x=6x + \dfrac{1}{2} x = 6, et 3x=123x = 12, et enfin x=4x = 4.

Soit : x+12x+13x=44x + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{3} x = 44,

et qu’on demande la valeur de xx :

si on multiplie d’abord par 33, on a : 4x+32x=1324x + \dfrac{3}{2} x = 132 ;

multipliant ensuite par 22, on a : 11x=26411x = 264 ; donc x=24x = 24.

On aurait pu procéder plus brièvement, en commençant par réduire les trois termes qui renferment xx, au seul terme 116x\dfrac{11}{6} x ;

et divisant ensuite par 1111 l’équation 116x=44\dfrac{11}{6}x = 44,

on aurait eu : 16x=4\dfrac{1}{6}x =4, donc x=24x=24

Soit : 23x34x+12x=1\dfrac{2}{3}x - \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{2}x = 1,

on aura, en réduisant, 512x=1\dfrac{5}{12}x = 1, et x=2+25x = 2 +\dfrac{2}{5}.

Soit plus généralement, axbx+cx=dax - bx + cx = d, c’est comme si on avait (ab+c)x=d(a - b + c)x = d, d’où x=dab+cx = \dfrac{d}{a - b + c}.

2.8. (573) : faire disparaître xx du côté où il y en a le moins

Lorsqu’il se trouve des termes renfermant xx dans l’un et l’autre membre de l’équation, on commencera par faire disparaître ces termes du côté où cela est le plus facile, c’est-à-dire où il y en a le moins.

Si on a, par exemple, l’équation 3x+2=x+103x + 2 = x + 10 ; il faudra soustraire xx des deux côtés, on aura 2x+2=102x + 2 = 10 ; donc 2x=82x = 8, et x=4x = 4.

Qu’on ait x+4=10xx + 4 = 10 - x ; il est clair que : 2x+4=102x + 4 = 10 ; donc 2x=162x = 16, et x=8x = 8.

Soit x+8=323xx + 8 = 32 - 3x,

on aura : 4x+8=324x + 8 = 32 ; puis 4x=244x = 24, et x=6x = 6.

Soit : 15x=202x15 - x = 20 - 2x, on aura : 15+x=2015 + x = 20, et x=5x = 5.

Soit : 1+x=512x1 + x = 5 - \dfrac{1}{2}x, on aura 1+32x=51 + \dfrac{3}{2}x = 5 ; puis 32x=4\dfrac{3}{2}x = 4 ; 3x=83x = 8 ; enfin x=83=2+23x = \dfrac{8}{3}= 2 + \dfrac{2}{3}.

Si : 1213x=1314\dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{3}x = \dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{4}

on ajoutera 13x\dfrac{1}{3}x, ce qui donne 12=13+112x\dfrac{1}{2}= \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{12}x en soustrayant 13\dfrac{1}{3}, il reste 112x=16\dfrac{1}{12}x =\dfrac{1}{6}

et multipliant par 1212, on obtient x=2x = 2.

Si 1+1223x=14+12x1 + \dfrac{1}{2}- \dfrac{2}{3}x = \dfrac{1}{4}+ \dfrac{1}{2}x ;

on ajoute 23x\dfrac{2}{3}x, ce qui donne 1+12=14+76x1 + \dfrac{1}{2}= \dfrac{1}{4}+ \dfrac{7}{6}x ;

soustrayant 14\dfrac{1}{4}, on a 76x\dfrac{7}{6}x = $1 + \dfrac{1}{4},

d’où x=3028=1+114x = \dfrac{30}{28}= 1 +\dfrac{1}{14} en multipliant par 66, et en divisant par 77.

2.9. (574) : si x est au dénominateur, il faut multiplier par x

Si on est parvenu à une équation où le nombre inconnu xx est en dénominateur, il faut faire disparaître la fraction, en multipliant toute l’équation par ce dénominateur.

Supposons qu’on ait trouvé 100x8=12\dfrac{100}{x} - 8 = 12,

on ajoutera d’abord 88, et on aura 100x=20\dfrac{100}{x} = 20 ;

multipliant ensuite par xx, on a 100=20x100 = 20x

et divisant par 2020, on trouve x=5x = 5.

Soit : 5x+3x1=75x + 3x - 1= 7.

Si on multiplie par x1x - 1, on a : 5x+3=7x75x + 3 = 7x - 7.

Soustrayant 5x5x, il reste 3=2x73 = 2x - 7.

Ajoutant 77, il vient 2x=102x = 10 ; d’où x=5x = 5.

2.10. (575) : x fait partie d'une racine carrée

Quelquefois aussi on rencontre des signes radicaux et l’équation ne laisse pas d’appartenir au premier degré.

Par exemple, on cherche un nombre xx au-dessous de 100100, et tel que la racine
carrée de 100x100 - x devienne égale à 88, ou 100x=8\sqrt{100-x}=8

On prendra des deux côtés le carré, ce qui donne, 100x=64100 - x = 64, et en ajoutant xx,

on aura 100=64+x100 = 64 + x ; d’où x=10064=36x = 100 - 64 = 36.

On pourrait aussi, puisque 100x=64100 - x = 64, soustraire 100100 de l’un et de l’autre membre ; on aurait x=36-x = -36, et en multipliant par 1-1, x=36x = 36.

2.11. (576) x se trouve dans l'exposant

Quelquefois enfin, le nombre inconnu xx se trouve dans l’exposant, nous en avons vu des exemples plus haut, et il faut alors avoir recours aux logarithmes.

Ainsi, quand on a 2x=5122^x = 512, on prend des deux côtés les logarithmes ; on a : xln2=ln512x \ln{2} = \ln{512} ∗;

Note * : Euler note LL.

et en divisant par ln2\ln{2}, on trouve x=ln512ln2x = \dfrac{\ln{512}}{\ln{2}}

Les tables donneront donc x=2,70927000,3010300=27092730103=9x = \dfrac{2{,} 7092700}{0{,} 3010300}= \dfrac{270927}{30103}= 9.

Soit 5×32x100=3055 \times 3^{2x} - 100 = 305,

on ajoutera 100100 ; cela fait : 5×32x=4055 \times 3^{2x} = 405 ;

divisant par 55, on a 32x=8132x = 81 ;

prenant les logarithmes : 2xln3=ln812x \ln{3} = \ln{81} ;

et divisant par 2ln32\ln{3}, on a :

x=ln812ln3=ln81ln9x = \dfrac{\ln{81}}{2\ln{3}} = \dfrac{\ln{81}}{\ln{9}} ;

donc : x=1,9084500,9542425=190848509542425=2x = \dfrac{1{,} 908450}{0{,} 9542425} = \dfrac{19084850}{9542425}= 2.


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