Equation de Fermat pour p=3p=3

Par Mathous

Objectifs de l'équation

On veut démontrer que l'équation x3+y3=z3x^3 + y^3 = z^3 n'a pas de solution dans l'ensemble Z\mathbb{Z} (autre que les solutions triviales où l'un des nombres serait nul).

Il existe de nombreuses démonstrations de ce résultat. Celle qui a été choisie ici fait largement appel aux propriétés de l'anneau Z[j]\mathbb{Z}[j] étudié dans mon article sur les entiers d'Eisenstein.
Pour plus de détails, voyez cet article.

Elle s'inspire largement du cours de Monsieur Hindry : qu'il en soit ici remercié.

I- Résultats et prérequis

Commençons donc par rappeler les propriétés utiles, et quelques autres que nous allons établir ici.

Z[j]\mathbb{Z}[j] est un anneau euclidien, donc principal, donc factoriel.

Ses unités ( éléments inversibles ) sont exactement les éléments de norme 1 :±1\pm 1, ±j\pm j, ±j2\pm j^2.

L'élément λ=1j\lambda= 1- j, de norme 33, est un irréductible (élément premier) de Z[j]\mathbb{Z}[j].

Dans un anneau factoriel, on dispose de la propriété suivante que nous utiliserons dans cette étude :

Si aa et bb sont deux éléments premiers entre eux d'un anneau factoriel, et si leur produit est le produit d'un cube par une unité, alors chacun d'eux est le produit d'un cube par une unité.

En effet : posons a=u.Πpiαia = u. \Pi p_i^{\alpha i} et b=v.Πqjβjb=v.\Pi q_j^{\beta j}uu et vv sont des unités de l'anneau, pip_i et qjq_j des éléments irréductibles, αi\alpha_i et βj\beta_j les exposants de ces facteurs dans les décompositions de aa et bb. Puisque aa et bb sont premiers entre eux, les pip_i sont tous différents des qjq_j.

ab=uv.Πpiαiqjβjab = uv. \Pi p_i^{\alpha i} q_j^{\beta j}=w.Πrk3γk= w. \Pi r_k ^{3 \gamma k}, ww étant une unité.

Or, la décomposition de abab étant unique (à l'ordre près et aux inversibles près), les pip_i et les qjq_j sont exactement les rkr_k avec leurs exposants qui sont tous des multiples de 33.

Donc aa et bb sont bien des cubes (aux unités près).
Ce résultat s'étend sans difficulté (même démonstration) à un produit de plus de 2 facteurs pourvu qu'ils soient premiers entre eux deux à deux.

λ\lambda , et même λ2\lambda^2, est un diviseur de 33 :

En effet :

soit ϕ(X)=X2+X+1=(Xj)(Xj2)\phi (X) = X^2 + X + 1 = (X - j)(X - j^2).

On a : ϕ(1)=3=(1j)(1j2)=(1j)2(1+j)=λ2(j2).\phi(1)=3=(1-j)(1-j^2)=(1-j)^2(1 + j) = \lambda^2 (-j^2).

Soit sZ[j]s \in \mathbb{Z}[j].

On pose s=a+jbs = a + jbaa et bb sont des entiers relatifs.
j1moduloλj \equiv 1 modulo \lambda puisque λ=1j\lambda = 1 - j.

Donc sa+bmoduloλs \equiv a + b modulo \lambda.

ss est donc congru à un entier. Or, modulo3modulo 3, cet entier est congru à 00,11, ou 1-1.
Mais puisque 33 est un multiple de λ\lambda, ss est congru à 00,11, ou 1moduloλ-1 modulo\lambda.

Plus précisément, le quotient Z[j]λZ[j]\dfrac{\mathbb{Z}[j]}{\lambda\mathbb{Z}[j]} est un corps puisque l'anneau Z[j]\mathbb{Z}[j] est principal et que λ\lambda est premier.

Ce corps possédant 33 éléments est donc isomorphe à F3\mathbb{F}3.

Une autre façon d'expliquer les choses est de remarquer que, par division euclidienne de ss par λ\lambda, ss est congru modulo λ\lambda à son reste qui est de norme inférieure à 33.
Or il n'existe pas dans Z[j]\mathbb{Z}[j] d'élément de norme 22. Donc ss est congru soit à 00, soit à un élément de norme 11 c'est-à-dire à un inversible.

Mais ces inversibles sont en fait congrus 33 à 33 modulo λ\lambda :

+1jj2+1 \equiv j \equiv j^2 et 1jj2-1 \equiv -j \equiv -j^2, les premiers n'étant pas congrus aux seconds.

On retrouve bien les 3 classes.

Si uu est une unité ( élément inversible ) de Z[j]\mathbb{Z}[j] et que u±1moduloλ2u \equiv \pm1 modulo\lambda^2, alors u=±1u = \pm1.

Remarquons que cet énoncé serait faux si on supposait seulement u±1moduloλu \equiv \pm1 modulo \lambda : par
exemple j1moduloλj \equiv 1 modulo \lambda mais j1j \neq 1.

La démonstration de la propriété s'effectue par cas ( il n'y en a finalement que 4 ).

  1. si u=ju = j :
  • ou bien u1moduloλ2u \equiv 1 modulo\lambda^2, donc j1moduloλ2j\equiv 1 modulo\lambda^2, donc j10moduloλ2j - 1 \equiv 0 modulo\lambda^2, donc λ\lambda est un multiple de λ2\lambda^2 ce qui est impossible.

  • ou bien u1moduloλ2u \equiv -1 modulo\lambda^2, donc j1moduloλ2j \equiv -1 modulo\lambda^2, donc j+10moduloλ2j + 1\equiv 0 modulo\lambda^2, donc $-j^2 est un multiple de λ2\lambda^2 ce qui est impossible (λ2=3j\lambda^2= -3j de norme 99).

  1. si u=j2u = j^2:
  • ou bien u1moduloλ2u \equiv 1 modulo\lambda^2, donc $j^2 \equiv 1 modulo \lambda^2, donc $j^2-1 \equiv 0 modulo\lambda^2, donc j+1=j2j+1 = -j^2 est un multiple de λ\lambda ce qui est impossible.

  • ou bien u1moduloλ2u \equiv -1 modulo\lambda^2, donc j2+1j^2 + 1 est un multiple de λ2\lambda^2, donc j-j est un multiple de λ2\lambda^2 ce qui est impossible.

  1. si u=ju = -j :
  • ou bien u1moduloλ2u \equiv 1 modulo\lambda^2, donc j1moduloλ2j \equiv -1 modulo\lambda^2, ce cas a été étudié.

  • ou bien u1moduloλ2u \equiv -1 modulo\lambda^2, donc j1moduloλ2j \equiv 1 modulo \lambda^2, cas également étudié.

  1. si u=j2u = -j^2:
    Là aussi, les deux cas ont été étudiés.

Il reste donc comme seules possibilités : u=1u = 1 ou u=1u = -1 pour lesquels il n'y a évidemment rien à vérifier.

Si ss élément de Z[j]\mathbb{Z}[j] vérifie s±1moduloλs \equiv \pm1 modulo \lambda, alors s3±1moduloλ4s^3 \equiv \pm 1 modulo \lambda^4.

Si s1moduloλs\equiv 1 modulo\lambda, alors s=1+kλs = 1 + k\lambda ( où kZ[j]k \in \mathbb{Z}[j]).

Donc s31=(s1)(sj)(sj2)s^3-1=(s-1)(s-j)(s-j^2)=(λk)[λ(1+k)][λ(1+k+j)]=(\lambda k)[\lambda(1+k)][\lambda(1+k+j)]=λ3(k)(1+k)(1+k+j)=\lambda^3(k)(1+k)(1+k+j)

Or, modulo λ\lambda, kk est congru à un entier rr valant 00,11, ou 22.

k+1k + 1 est donc congru à r+1r + 1 et k+1+jk + 1 + j à r+2r + 2 (car j1moduloλ)j \equiv 1 modulo\lambda).

Chacun des facteurs du produit (k)(1+k)(1+k+j)(k)(1 + k)(1 + k + j) est donc congru moduloλ\lambda à un entier de 00 à 22, et ces entiers étant différents moduloλ\lambda, l'un d'entre eux est donc congru à 0moduloλ0 modulo\lambda,c'est-à-dire est un multiple de λ\lambda.

Par suite, s31=λ4hs^3 - 1 = \lambda^4h et donc s31moduloλ4s^3 \equiv 1 modulo\lambda^4.

Si s1moduloλs \equiv -1 modulo\lambda, un calcul analogue au précédent fournit s3+1=λ3(k)(k1)(k1j)s^3 + 1 = \lambda^3(k)(k-1)(k-1-j).

Comme précédemment, l'un des trois derniers facteurs est multiple de λ\lambda et on obtient s31moduloλ4s^3 \equiv -1modulo\lambda^4.

II - Considérons maintenant, dans Z[j]\mathbb{Z}[j]\{0}, l'équation x3+y3=z3x^3 + y^3 = z^3.

  • On peut toujours supposer que xx,yy, et zz sont premiers entre eux ( dans Z[j]\mathbb{Z}[j]) car si δ\delta est un PGCD de xx,yy, et zz, il suffit de poser x=δxx=\delta x', y = \deltay', z=δzz = \delta z'. On obtient alors x3+y3=z3x'^3 + y'^3 = z'^3 où cette fois xx',yy', et zz' sont premiers entre eux.

  • On peut même supposer que xx,yy, et zz sont premiers entre eux deux à deux car si μ\mu est un diviseur premier ( dans Z[j]\mathbb{Z}[j] ) de xx et yy, il divise aussi z3z^3 donc $z (puisqu'il est premier et que x3+y3=z3x^3 + y^3 = z^3) ce qui contredit que xx,yy, et zz sont premiers entre eux.

  • Si λ\lambda ne divise ni xx, ni yy, ni zz, alors chacun de ces éléments est congru à ±1moduloλ\pm 1 modulo\lambda,
    et donc le cube de chacun est congru à ±1moduloλ4\pm 1 modulo\lambda^4.

Par suite, puisque x3+y3=z3x^3+y^3 = z^3, on a :±1±1±10moduloλ4\pm1\pm1\pm1 \equiv 0 modulo\lambda^4

Il est aisé de vérifier qu'une telle congruence est impossible : le membre de gauche étant congru à ±3\pm3 ou ±1\pm1 de norme maximum 99, alors que λ4=9j2\lambda^4 = 9j^2
est de norme 8181.

Il en résulte que λ\lambda divise l'un des éléments xx,yy, ou zz.

L'égalité x3+y3=z3x^3 + y^3 = z^3 peut s'écrire x3+y3+(z)3=0x^3 + y^3 + (-z)^3 = 0.

Par suite, xx, yy, et zz jouent le même rôle, et puisque λ\lambda divise l'un des éléments xx,yy,ou zz, on peut toujours supposer qu'il divise zz.

xx,yy, et zz étant premiers entre eux deux à deux,λ\lambda divise donc zz mais ni xx ni yy.

  • En définitive, on peut donc se placer dans la situation suivante :

xx, yy, et zz sont trois éléments de Z[j]\mathbb{Z}[j]\{0}, premiers entre eux deux à deux, tels que x3+y3=z3x^3 +y^3 = z^3
et tels que λ\lambda divise zz mais ni xx ni yy.

Nous allons démontrer que ceci est impossible, et donc à fortiori que l'équation x3+y3=z3x^3 + y^3 = z^3 n'admet aucune solution dans Z\mathbb{Z}\{0}.

Méthode de la descente infinie

On se place dans l'hypothèse suivante :
xx,yy, etzz sont trois éléments de Z[j]\mathbb{Z}[j]\{0}, premiers entre eux deux à deux, tels que λ\lambda divise zz mais ni xx ni yy, et tels qu'il existe une unité uu de Z[j]\mathbb{Z}[j]∗ telle que x3+y3=uz3x^3 + y^3 = uz^3.

  • Puisque λ\lambda divise zz mais pas xx ni yy, xx et yy sont congrus à ±1moduloλ\pm1 modulo \lambda. On a vu qu'alors x3x^3 et y3y^3 sont congrus à ±1moduloλ4\pm1 modulo \lambda^4.

Donc, puisque x3+y3=uz3x^3 + y^3 = uz^3, on a \pm1 \pm 1 ≡ uz^3 modulo \lambda^4$.

Donc :

  • ou bien 2uz3moduloλ42 \equiv uz^3 modulo\lambda^4, et donc 22 est un multiple de λ3\lambda^3 donc de λ\lambda ( puisque λ\lambda divise zz), ce qui est faux ;

  • ou bien 2uz3moduloλ4-2 ≡ uz^3 modulo \lambda^4, ce qui est également impossible ;

  • reste donc 0uz3moduloλ40 \equiv uz^3 modulo \lambda^4, et donc z3z^3 est un multiple de λ4\lambda^4 ce qui implique que zz est un multiple de λ2\lambda^2 ( et pas seulement de λ\lambda ).

  • Si δ\delta est un diviseur commun de x+yx + y et de x+jyx + jy, alors δ\delta divise (x+y)(x+jy)=λy(x + y) - (x + jy) = \lambda y. Il
    divise aussi j(x+y)(x+jy)=λxj(x + y) - (x + jy) = - \lambda x .

Or, xx et yy étant premiers entre eux, δ\delta divise donc λ\lambda.
Ainsi, un PGCD de x+yx + y et de x+jyx + jy divise λ\lambda.

  • On a : x3+y3=(x+y)(x+jy)(x+j2y)=uz3x^3 + y^3 = (x + y)(x + jy)(x + j^2y) = uz^3.

Or, λ\lambda divisant zz divise donc le produit (x+y)(x+jy)(x+j2y)(x+ y)(x + jy)(x + j^2y) . Il divise donc au moins un de ces trois facteurs.

Si λ\lambda divise x+yx + y, il divise donc x+jy+yjy=(x+jy)+λyx + jy + y - jy = (x + jy) + \lambda y, il divise donc x+jyx + jy. Il divise
donc un PGCD de ces deux éléments.
Or on vient de voir que ces PGCD divisent λ\lambda. Donc λ\lambda est un PGCD de x+yx + y et x+jyx + jy.

  • On démontrerait de façon analogue que λ\lambda est un PGCD de x+yx + y et de x+j2yx + j^2y ainsi que de x+jyx + jy et x+j2yx + j^2y. C'est donc un PGCD des trois facteurs.

On peut remarquer d'ailleurs que ces trois facteurs jouent le même rôle : il suffit par exemple de poser y=jyy = jy' pour obtenir x+jyx + jy' à la place de x+yx + y, x+j2yx + j^2y' à la place de x+jyx + jy, et x+yx + y' à la place de x+j2yx + j^2y ;
xx,yy', et zz vérifiant évidemment les conditions demandées au début de cette partie.

  • On a vu plus haut que λ2\lambda^2 divise zz, donc zz est de la forme z=q.λmz= q.\lambda^mm=vλ(z)m = v_\lambda(z) est
    la valuation de λ\lambda dans la décomposition de zz en facteurs premiers ( le plus grand exposant de
    λ\lambda dans cette décomposition ).

On a donc m>2m >2.
Par suite, puisque (x+y)(x+jy)(x+j2y)=uz3=uq3λ3m(x + y)(x + jy)(x + j^2y) = uz^3 = uq^3\lambda^{3m}, 3m>63m >6 et donc l'un au moins des
trois facteurs (x+y)(x + y), (x+jy)(x + jy), ou (x+j2y)(x + j^2y) est divisible par λ2\lambda^2.
Or on a vu que λ\lambda ( et non pas λ2\lambda^2) est un PGCD de ces facteurs pris deux à deux. Il en résulte qu'un seul de ces facteurs est divisible par λ2\lambda^2 et les deux autres seulement par λ\lambda.

On ne change rien à la généralité du problème en supposant que c'est x+yx+y qui est divisible par λ2\lambda^2. Le raisonnement aboutirait au même résultat si on supposait que c'est un des deux autres facteurs ( on a d'ailleurs vu que ces trois facteurs jouent le même rôle ).

On suppose donc dans la suite que vλ(x+y)2v\lambda(x + y) \geqslant 2, vλ(x+jy)=1v\lambda(x + jy) = 1, et vλ(x+j2y)=1v\lambda(x + j^2y) = 1.

De plus, puisque (x+y)(x+jy)(x+j2y)=uz3=uq3λ3m(x + y)(x + jy)(x + j^2y) = uz^3 = uq^3\lambda^{3m}, on a vλ(x+y)=3m2v\lambda(x + y) = 3m - 2 ( la somme
des exposants valant 3m3m).

  • On a donc :
    x+y=A1λ3m2x + y = A_1\lambda^{3m-2}
    x+jy=A2λx + jy = A_2\lambda
    x+j2y=A3λx + j^2y = A_3\lambda

Puisque \lambda est un PGCD de ces éléments deux à deux, il en résulte que A1A_1, A2A_2, et A3A_3 sont premiers entre eux deux à deux.
Or, le produit des trois vaut uz3=uq3λ3muz_3 = uq^3 \lambda^{3m}, il en résulte que A1A2A3=uq3A_1A_2A_3 = uq^3.

A1A_1, A2A_2, et A3A_3 sont donc trois éléments de Z[j]\mathbb{Z}[j]\{0}, premiers entre eux deux à deux, et dont
le produit est un cube ( à une unité près ).
Z[j]\mathbb{Z}[j] étant un anneau factoriel, il en résulte que
chacun de ces trois éléments est lui-même le produit d'un cube par une unité.

Il existe donc trois unités u1u_1, u2u_2, u3u_3, et trois éléments X1X_1, X2X_2, et X3X_3 de Z[j]\mathbb{Z}[j] tels que :

A1=u1X13A_1 = u_1{X_1}^3
A2=u2X23A_2 = u_2{X_2}^3
A3=u3X33A_3 = u_3{X_3}^3

On calcule alors :
x+y+j(x+jy)+j2(x+j2y)=0=u1X13λ3m2+u2X23jλ+u3X33j2λx + y + j(x + jy) + j^2(x + j^2y) = 0 = u_1{X_1}^3 \lambda {3m-2} + u_2{X_2}^3j\lambda + u_3{X_3}^3j^2 \lambda

Puisque λ0\lambda\neq 0 :
u1X13λ3m3+u2X23j+u3X33j2=0u_1{X_1}^3\lambda{3m-3} + u_2{X_2}^3j + u_3{X_3}^3j^2 = 0

On peut tout diviser par ju2ju_2 qui est une unité :
u1ju2X13λ3m3+X23+u3ju2X33=0\dfrac{u1}{ju_2}{X_1}^3\lambda^{3m-3}+ {X_2}^3 + \dfrac{u_3j}{u_2}{X3}^3 = 0

On pose alors : x=X2x'= X_2
ε=u3ju2\varepsilon = \dfrac {u_3j}{u_2}
y=X3y'= X_3
u=u1ju2u'= - \dfrac {u_1}{ju_2}
et z=X1λm1z'= X_1λ^{m-1}

On obtient alors x3+εy3=uz3x'^3+\varepsilon y'^3=u'z'^3ε\varepsilon et uu sont des unités, xx' et yy' des éléments de Z[j]\mathbb{Z}[j]\{0} premiers entre eux, non divisibles par λ\lambda, et où la valuation de zz' est m1m-1 ( alors que celle de zz était mm ).

Mais ce n'est pas encore tout-à-fait ce que l'on souhaite : ε\varepsilon est une unité, mais il faut prouver que c'est ±1\pm1.

  • Puisque xx' et yy' ne sont pas divisibles par λ\lambda, ils sont congrus à ±1moduloλ\pm1 modulo\lambda, et donc x3x'^3 et y' ^3 sont congrus à ±1moduloλ4\pm1 modulo\lambda^4 donc à fortiori $modulo\lambda^3 $.

zz' est un multiple de λ\lambda donc z3z'3 est congru à 0moduloλ30 modulo\lambda^3.

Il en résulte que ±1±ε0moduloλ3\pm1 \pm \varepsilon \equiv 0 modulo \lambda^3 et à fortiori moduloλ2=3jmodulo \lambda^2 = -3j.

Or, cette congruence n'est possible que si ε=±1\varepsilon = \pm1. Ainsi, si ε\varepsilon valait jj, on aurait ±1±j\pm 1\pm j multiple de 3j-3j ce qui est impossible ( à cause par exemple des normes ).

Je laisse au lecteur le soin de vérifier les autres impossibilités.

On a donc \varepsilon = \pm 1$.
Donc, on obtient x3+y3=uz3x^3 + y^3 = u'{z'}^3 lorsque ε=1\varepsilon = 1 , ou x3y3=x3+(y)3=uz3x'^3 - y'^3 = x^3 + (-y')^3 = u'z'^3 lorsque ε=1\varepsilon = -1.

Résumé

En résumé :

s'il existe trois éléments xx, yy, zz de Z[j]\mathbb{Z}[j]\{0}, premiers entre eux deux à deux, et une unité uu de Z[j]\mathbb{Z}[j] * ,
tels que λ\lambda divise zz mais pas xx ni yy, et que x3+y3=uz3x^3 + y^3 = uz^3 ,
alors il existe trois éléments xx',yy',zz' de Z[j]\mathbb{Z}[j]\{0}, premiers entre eux deux à deux, et une unité uu' de Z[j]\mathbb{Z}[j] * ,
tels que λ\lambda divise zz' mais pas xx' ni yy', et que x3+y3=uz3x^3 + y^3 = u'z'^3, avec de plus vλ(z)<vλ(z)v \lambda(z') < v\lambda (z).

On peut itérer le procédé indéfiniment : les valuations dez qui sont des entiers à priori positifs mais strictement décroissants finiraient par être nuls voire négatifs : cela aboutit donc à une contradiction :

L'hypothèse initiale : il existe trois éléments xx, yy, zz de Z[j]\mathbb{Z}[j]\{0}, premiers entre eux deux à deux, et une unité uu de Z[j]\mathbb{Z}[j] * , tels que λ\lambda divise zz mais pas xx ni yy, et que x3+y3=uz3x^3+y^3 = uz^3 est donc fausse, et par suite l'équation x3+y3=z3x^3 + y^3 = z^3 n'admet aucune solution dans Z\mathbb{Z} autre que celles où un des termes est nul.


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