Ecriture décimale illimitée d'un rationnel

L'écriture décimale illimitée d'un rationnel est périodique, et réciproquement.
Cet article contient les explications, des exemples, ainsi que les démonstrations de cette propriété et de sa réciproque.

1.Propos liminaires

Presque tout le monde sait que 23=0,66666\dfrac{2}{3} = 0{,}66666…

Les points de suspension indiquent qu’il y a d’autres chiffres après les 66, et suggèrent que ces chiffres sont tous des 66, en nombre infini.

C'est effectivement le cas : l’écriture est indéfiniment périodique, sa plus petite période est ici constituée du nombre 66, sa longueur est donc 11.

Pour traduire cette périodicité, j’écrirai :

23=0,6\dfrac{2}{3} = 0{,}6

Les nombres décimaux n’échappent pas à cette règle, tout en constituant un cas particulier, ainsi :

45=0,8\dfrac{4}{5}= 0{,}8

Que l’on peut aussi écrire 0,800{,}80 ou 0,8000{,}800 ou 0,80000{,}8000… c’est-à-dire 0,8[0]0{,}8[0].

2.Partie directe

Théorème

Tout rationnel possède une écriture décimale illimitée périodique à partir d’un certain rang.

Démonstration

On se restreint aux rationnels positifs ; pour les négatifs, il suffit de placer le signe moins devant.

Rappelons qu’ un nombre rationnel est le quotient de deux nombres entiers (positifs dans le cas présent), de préférence premiers entre eux.

Soit ab\dfrac{a}{b} un nombre rationnel positif (b ≠ 0).

Le quotient de aa par bb peut s’obtenir en effectuant la division dite « euclidienne » de aa par bb, mais en la poursuivant, si besoin, au-delà de la virgule.

A chaque étape, le reste sera strictement inférieur à bb.
Si un reste est nul, on a l’habitude d’arrêter l’opération : le rationnel est décimal.

Mais rien n’empêche de la continuer : on aura alors systématiquement le chiffre 00 au quotient et 00 pour reste. On a bien une « écriture illimitée périodique » de période 11.

Exemple :

74=1,75=1,75[0]\dfrac{7}{4} = 1{,}75 = 1{,}75[0]

Si, par contre, aucun reste n’est nul, la division ne s’arrête pas mais puisque tous les restes sont inférieurs à bb, on retombera tôt ou tard sur un reste déjà trouvé.

A partir de ce moment, les chiffres au quotient et les restes vont se répéter à l’identique de ce qu’ils étaient lors du premier reste égal au reste trouvé. L’écriture est donc illimitée périodique.

Remarque 1

La période n’a aucune raison d’apparaître dès le début.

Par exemple : 155198=0,7[82]\dfrac{155}{198}= 0{,}7[82].

On observe la partie périodique, de longueur 22 (82)(82), et la partie non périodique (0,7)(0,7).

Remarque 2

Tous les restes étant inférieurs à bb, il y en a bb différents , et b1b_{-1} différents et non nuls.

Donc, la période sera constituée au maximum de b1b_{-1} chiffres, ou moins comme le montre l’exemple ci-dessus où la période n’a que 22 chiffres alors qu’elle aurait pu en avoir 197197.

Il peut aussi arriver que la période possède b1b_{-1} chiffres.

Par exemple 157=2,[142857]\frac{15}{7}= 2{,}[142857] :la période est de longueur 6=716 = 7-1

3. Réciproque

Théorème

Si l’écriture décimale illimitée d’un réel est périodique à partir d’un certain rang, alors ce réel est rationnel.

Démonstration

Soit xx le nombre considéré ;
Soit aa sa partie non périodique : c’est un décimal donc un rationnel ;
Soit bb la période, kk sa longueur et 10n10^{-n} le premier rang où se situe son chiffre des unités.

Exemple :

si x=12,23[47]x = 12{,}23[47], a=12,23a=12{,}23 ; b=47b=47 ; k=2k=2 ; n=4n=4

On a donc :

x=a+b.10n+b.10nk+b.10n2k+b.10n3k+...x=a+b.10^{-n} + b.10^{-n-k} + b.10^{-n-2k} + b.10^{-n-3k}+...
x=a+b.10n×[1+(10k)+(10k)2+(10k)3+...]x = a + b.10^{-n}\times [1 + (10^{-k})+ (10^{-k})^2 + (10^{-k})^3 +...]

Dans le crochet, on reconnaît la somme des termes d'une suite géométrique, de raison 10k10^{-k}, tous inférieurs à 11.

Cette somme est égale à 1110k=10k10k1\dfrac{1}{1 - 10^{-k}} = \dfrac{10^k}{10^ k-1}

Donc x=a+b.10kn10k1x=a+\dfrac{b.10^{k-n}}{10^k-1} et xx est donc bien rationnel.

Exemple :

12,23[47]=12,23+47×1024102112{,}23[47] = 12{,}23 + 47 \times \dfrac{10^{2-4}}{10^2-1}

=1223100+47×10299= \dfrac{1223}{100} + 47 \times \dfrac{10^{-2}}{99}

=1223100+479900= \dfrac{1223}{100} + \dfrac{47}{9900}

Après simplification,

x=302812475x= \dfrac{30281}{2475}

4.Ecriture décimale illimitée « impropre » d’un décimal

Que se passe-t-il si la période est 99 ?

b=9b = 9 et k=1k=1, donc on aura x=a+9.101n1011x=a+\dfrac{9.10^{1-n}}{10^1-1}=a+101n=a+10^{1-n}

Le résultat est décimal.

Par exemple : 2,3[9]=2,3+101=2,42{,}3[9] = 2{,}3+10^{-1} =2{,}4

Ainsi , tout décimal est susceptible d’avoir deux écritures décimales illimitées :

  • son écriture « propre »

  • et son écriture « impropre ».

  • 2,4=2,4[0]2{,}4 = 2{,}4[0] : écriture usuelle

  • et 2,4=2,3[9]2{,}4 = 2{,}3[9] : écriture "impropre".

Ainsi se trouve une explication, par exemple du fait que l’égalité 0,99999=10{,}99999… =1 soit valable. (L’explication selon laquelle la différence ne peut être constituée que de zéros est plus « parlante » mais moins rigoureuse).

Remarque

Remarquons pour terminer que si la période est 99, le nombre est nécessairement décimal. Les rationnels non décimaux n’ont donc pas d’écriture « impropre ».

Par mathtous


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