Développements limités

I - Développements valables pour toute valeur de x:

  • ex=1+x1!+x22!+...+xnn!e^x = 1 + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{x^2}{2!} + ... + \dfrac{x^n}{n!}

  • ax=1+xln(a)1!+(xln(a))22!+...(xln(a))nn!a^x = 1 + \dfrac{x\ln{(a)}}{1!} + \dfrac{{(x\ln(a)})^2}{2!} + ...\dfrac{(x\ln{(a)})^n}{n!}

  • sinx=xx33!+...+(1)nx2n+1(2n+1)!\sin{x} = x - \dfrac{x^3}{3!} + ... + \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}

  • cosx=1x22!+...+(1)nx2n(2n)!\cos{x} = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + ... + \dfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}

II - Développements valables pour |x| < 1:

  • 1(1x)=1+x+x2+...+xn\dfrac{1}{(1 - x)} = 1 + x + x^2 + ... + x^n

  • 1(1+x)=1x+x2...+(1)nxn\dfrac{1}{(1 + x)} = 1 - x + x^2 - ... + (-1)^nx^n

  • ln(1+x)=xx22+x33...+(1)n+1xnn\ln{(1 + x)} = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - ... + (-1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n}

  • ln(1x)=xx22x33...xnn\ln{(1 - x)} = -x - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3} - ... - \dfrac{x^n}{n}

  • arctanx=xx33+x55+...+(1)nx2n+1(2n+1)\arctan{x} = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} +... + \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1) }

  • (1+x)n=1+nx+n(n1)x22!+n(n1)(n2)x33!+...(1 + x)^n = 1 + nx + \dfrac{n(n - 1)x^2}{2!} + \dfrac{n(n - 1)(n - 2)x^3}{3!} + ...

  • 1(1x)=1+(12)x(38)x2+...\dfrac{1}{\sqrt{(1 - x)}} = 1 + \bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)x - \bigg(\dfrac{3}{8}\bigg)x^2 +...

par Nelly

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