on suppose 0 < m < 4 , on note Am , Bm , Cm , les points d'intersection de Hm avec Cf . on note alpha , Beta , Y ( une sorte d'Y )leurs abscisses respectives .
a) etablir que alpha , beta et Y sont les racine de Pm(x) = -x au cube + 3x² - m
b) En deduire que le centre de graviter du triangle Am , Bm , Cm est fixe .
SVP , besoin d'aide et d'expliquation , car je ne compren pas beaucoup .
je demande des explication , car je ne cherche pas la reponse toute seul , c'est pour comprendre ..
Les intersections de Hm et Cf sont les points dont l'abscisse est x et l'ordonnée vérifie Gm(x) = F(x), c-a-d m/x = -x² + 3x
En multipliant les deux membres par x (ce qui est permis car x diff/ 0 pour que Gm(x) soit définie) tu obtiens m = -x^3 + 3x² ce qui peut s'écrire aussi -x^3 + 3x² -m = 0.
Tu cherches donc les valeurs de x telles que -x^3 + 3x² -m = 0, ce qu'en maths on appelle les racines de -x^3 + 3x² -m = Pm(x)
Note qu'on ne te demande pas de trouver alpha beta et gamma.
On a toutefois des infos sur ces trois racines.
On sait qu'un polynôme de degré 3 a au maximum trois racines.
En supposant qu'elles existent et en les notant alpha beta gamma, on sait aussi qu'alors on peut écrire
Pm(x) = -(x-alpha)(x-beta)(x-gamma).
En développant on obtient
Pm(x) = -[x^3 - (alpha + beta + gamma)x² +(alphabeta + alphagamma + betagamma)x -alphabetagamma]
Pm(x) = -x^3 + (alpha + beta + gamma)x² - (alphabeta + alphagamma + betagamma)x + alphabetagamma.
Rien que ça.
Comme Pm(x) = -x^3 + 3x² - m et en identifiant avec ce qu'on a obtenu au-dessus on trouve :
alpha + beta + gamma = 3
alphabeta + alphagamma + betagamma = 0
alphabetagamma = -m
Ça ne nous donne pas les valeurs de alpha beta gamma, mais ça peut servir pour la suite.
Là c'est plus chaud.
Les points Am, Bm, Cm sont sur les deux courbes, en particulier sur Hm, donc leurs coordonnées sont, respectivement (alpha ; m / alpha), (beta ; m / beta) et (gamma ; m / gamma).
Le centre de gravité du triangle, appelons le Gm, d'abscisse Xm et d'ordonnée Ym,, vérifie :
vect GmAm + vect GmBm + vect GmCm = vect nul (vect signifie vecteur)
donc abscisse GmAm + abs GmBm + Abs GmCm = abs vect nul
donc (alpha - Xm ) + (beta - Xm) + (gamma - Xm) = 0
donc alpha + beta + gamma - 3Xm = 0
donc 3Xm = alpha + beta + gamma
et c'est là qu'on se réfère à ce qu'on a trouvé plus haut : alpha + beta + gamma = 3
donc Xm = 1 (ne dépend pas de m, donc abscisse fixe)
passons à l'ordonnée
vect GmAm + vect GmBm + vect GmCm = vect nul (vect signifie vecteur)
donc ordonnée GmAm + ord GmBm + ord GmCm = ord vect nul
donc (alpha/m - Ym ) + (beta/m - Ym) + (gamma/m - Ym) = 0
donc (alpha + beta + gamma)/m - 3Ym = 0
donc 3Ym = (alpha + beta + gamma)/m
et c'est là qu'on se réfère à ce qu'on a trouvé plus haut : alpha + beta + gamma = 3
donc Ym = 1/m
Et là bug : ça dépend de m donc ordonnée pas fixe.
J'ai peut-être commis une erreur, mais je ne vois pas laquelle.
pourquoi : Pm(x) = -(x-alpha)(x-beta)(x-gamma). ?? Je n'ai jamais vu cette formule , si tu mouver me lexpliquer .
(J'ai vu sur mon cours si, c'est en rapport " p(x)=(x-alpha)(x-beta)Q(x) degres de Q = Degres de P -²)
Puis :
Pourquoi :" abscisse GmAm + abs GmBm + Abs GmCm = abs vect nul "
je compren pas le mots " abscisse vecteur ( pour gmam , gmbm , gmcm ) car on est dans un triangle ?? pareil pour ordoné vecteur ! ..
Est-ce que c'est vraiment urgent ? parce que ton interlocuteur n° 1 sur ce post n'est plus en ligne, et je n'ai pas très envie de me mettre à ce thème... les derniers posts étant vraiment longs.
non, se n'est pas important , mais je voudrai le comprendre ! je peut attendre , se n'est pas grave ! si quelqu'un a le courage et qui serait m'expliquer peut me repondre , mais sinon repondez quand vous le voulez !
Merci ! +
Alors si tu le veux bien, attends le retour de Drobert qui a l'air de s'être bien penché sur ton problème. Je pense que titor ne te laissera pas en plan non plus.
@+
OKi ! merci beaucoup ! en se qui conserne mon probleme , c'est de le comprendre !donc , J'espere qu'ils m'expliquerons sans me donner juste la reponse , si ils le veulent , bien sur !
merci ! +
J'ai travaillais un peu , donc , pour :
-(x-alpha)(x-beta)(x-gamma) , je comprend , c'est comme , pour l'equation du second degres , avec , a(x-x')(x-x") , mais la comme c'est une equation du 3eme degres , on fait a(x-x')(x-x")(x-x"') , il ya 3 racine , donc 3 (x' , x" et x'" ) ici remplacer par (alpha , beta et gamma ) , puis apres , on voit que c = -m = alpha*beta*gamma
et que nous savons que c=le produit des racines , donc alpha,beta et gamma sont les racines de Pm(x) ! Dites moi si je me trompe .?
Pour Pm(x), oui c'est la généralisation de la formule ax² + bx +c = a(x-x')(x-x") où x' et x" sont les racines (elles n'existent pas tjs).
C'est valable à tous les degrés.
Si ton polynôme est de degré 3 (P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d) et que tu sais qu'il a 3 racines (x1, x2, x3), alors P(x) = a(x-x1)(x-x2)(x-x3).
En développant et en identifiant on a
b = -a(x1+x2+x3) (coefficient de x^2)
c = a (x1x2+x1x3+x2x3) (coefficient de x)
d = -ax1x2x3 (constante)
Mais si tu n'as pas vu cela en cours, c'est qu'il doit y avoir un autre chemin pour le faire.
Pour les vecteurs, si u + v = w (vecteurs) alors abscisse(u) + abscisse(v) = abscisse(w) et ordonnée(u) + ordonnée(v) = ordonnée(w).
C'est vu en seconde ça.
J'ai trouvé mon erreur : ce n'est pas
(alpha/m - Ym ) + (beta/m - Ym) + (gamma/m - Ym) = 0
mais
(m/alpha - Ym) + (m/beta - Ym) + (m/gamma - Ym) = 0
donc m/alpha + m/beta + m/gamma = 3Ym
m(1/alpha + 1/beta + 1/gamma) = 3 Ym
on réduit au même dénominateur ds la parenthèse :
m(betagamma+alphagamma+alphabeta)/alphabetagamma = 3 ym
or betagamma+alphagamma+alphabeta = 0
donc Ym=0 (ne dépend pas de m, fixe).
Titor avait raison.
Re bonsoir !
Donc je comprend ton developement Drobert , tout est justifier , mais peus tu m'expliquer comment tu fais pour trouver, si le Centre de graviter est fixe , je voudrais savoir comment tu le fai ( ex : on commence par trouver les coordonner des vecteur gmam pour pouvoir savoir ou se situe le centre de graviter puis cela nous permet etc... ) , car la je vois plein de calcule justifier , mais sa me dit pas comment on fais ! Si tu vois se que je veus dire , tu pourai m'explique ton rezonnement ? stp stp ! ou quelqu'un d'autre arrivant a expliquer etape par etape , comment on fais ! svp svp ! je vous en serai tres reconnaissant !
Et aussi , question bête , sa ve dire quoi , centre de graviter fixe .? normalement il est fixe dans un triangle , il bouge pas ?
alors pour repondre à ta dernière question : les points d'intersections de tes deux courbes sont en fonction du parametre m donc là en fait il faut que par exemple lorsque m=2 le centre de gravité du triangle AmBmCm où c'est trois points sont les points d'intersections de Cf et Hm ici 2 soit egale à exemple G(3;4) et tu dois retrouver ces mêmes coordonnées ppour par exemple lorsque m=3
voilà est ce que tu m'as compris parce que ej ne suis pas trop litteraire...
je suis tout à fait d'accord avec son raisonnement mais pourquoi ne pas mettre que Xm=XAm+XBm+XCm/3 = alpha+beta+gamme/3
d'aprés ta question precedente et la relation des coefficients tu as alpha+beta+gamme=3 donc Xm=1
ensuite Ym=Yalpha+Ybeta+Ygamma
or tu sais que c'est des racines de ton polynome donc c'st egale à 0 tu retrouves bien G(0;1)
Non se n'est pas sa que je demander , je demandais , quel calcule il faut faire pour prouver que le centre de graviter est fixe ?
Ex : Pour prouver que le centre de graviter est fixe , je calcule d'abord les coordonner des vecteur mgma pour savoir .... )
Si tu ne voye pa se que je demande c'est pas grave , j'attendrai , une autre personne , qui sache !
Aussi , tu pourai me dire pourquoi un centre de graviter n'est pas obligatoirement fixe ? car dans un triangle il bouge pas !?
merci quand meme !
merci d'avance !
en fait pour prouver que le centre de gravité il faut que tu utilises les points Am,Bm,Cm comme ça c'est en fonction du parametre m tu auras donc demontrer ceci pou n'importe quelle valeur de m et comme tu trouve un resultat qui n'est pas fonction de m tu as trouvé qui est fixe!
ben en fiat si tu veux le but du jeu c'est d'avoir un resultat sans m, parce que sinon tu auras ton resultats qui variera suivant les valeurs de m, ca va ça?
je suis tout à fait d'accord avec son raisonnement mais pourquoi ne pas mettre que Xm=XAm+XBm+XCm/3 = alpha+beta+gamme/3
d'aprés ta question precedente et la relation des coefficients tu as alpha+beta+gamme=3 donc Xm=1
ensuite Ym=Yalpha+Ybeta+Ygamma
or tu sais que c'est des racines de ton polynome donc c'st egale à 0 tu retrouves bien G(0;1)
euh quand tu as à calculer les coordonnées d'un milieu de deux points tu fais xi=xa+xb/2 en supposant que I milieu de [AB]
et ensuite y même formule
ben pour le centre de gravités c'est xg=(xa+xb+xc)/3 puis y c'est une regle que normalent tu as acquise...
Oui ! Donc maintenant , pour trouver le centre de graviter , je fais cette propriete : xg = ( xa + xb + xc ) / 3 , pareil pour Y !
Donc apres je trouve les coordonner de G (1,0) , mais la , pourquoi Le centre de gravite est fixe ? c'est le mots fixe qui me pertube .
Sinon merci !
il est fixe parce que ton resultats n'est pas en fonction de m : quelque soit les valeurs de m ton centre de gravité aura pour coordonnée (0;1) et tu viens de le demontrer pour quelque soit les valeurs de m
voilà
là c'est bon?ou pas?
eu non ce n'est pas grave tache de ne pas oublier pour là que c'est les points d'intersection de f(x) et h(m) ton polynome tu peux l'ecrire plsu generalemen par p(x)=x^3-3x²+m
or tu sais que p(alpha)=p(beta)=p(gamme)=0
[QUOTE]
