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Exercice sur les barycentres |
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Envoyé: 26.02.2009, 18:12
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Une étoile
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Chacun des cotés d'un triangle ABC est partagé en trois segments de meme longueur.
Déterminer les coéfficients que l'on doit affecter à A et B pour écrire P comme barycentre de A et de B, faire de meme pour Q, et ensuite pour R et S comme barycentre de B et de C, et U et T comme barycentres de A et C.
Montrer que les droites (PS), (RU), (QT) sont concourantes en considérant le barycentre G du système (A,2),(B2),(C2).
J'ai trouvé:
P barycentre de (A,1),(B,2)
Q barycentre de (A,2),(B,1)
R barycentre de (B,1),(C,2)
S barycentre de (B,2),(C,1)
T barycentre de (C,1),(A,2)
U barycentre de (C,2),(A,1)
Aprés je coince ... Quelqu'un aurait une piste pour montrer que les droites sont concourantes?
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Envoyé: 26.02.2009, 18:19
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Cosmos
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Bonjour ,
Ou j'ai du mal à voir la figure , ou il y a une erreur .
P est bien plus près de A , et Q plus près de B ?
Donc , selon ta première réponse , on devrait avoir
1*vectPA + 2*vectPB = vect0
Ce n'est pas le cas . Vérifie , ainsi que les autres résultats .
Mathtous
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Envoyé: 26.02.2009, 18:25
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Une étoile
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P barycentre de (A,2),(B,1)
Q barycentre de (A,1),(B,2)
R barycentre de (B,2),(C,1)
S barycentre de (B,1),(C,2)
T barycentre de (C,2),(A,1)
U barycentre de (C,1),(A,2)
Exact j'avais tout interverti merci. Une idée pour la suite ?
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Envoyé: 26.02.2009, 18:29
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Cosmos
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Oui ,
Fais comme si tu ne savais rien sur G
P est le barycentre de (A,2) , (B,1) , donc pour tout point G , on a :
2*vectGA + 1*vectGB = ...
Mathtous
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Envoyé: 26.02.2009, 18:37
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Une étoile
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"Fais comme si tu ne savais rien sur G"
Je ne comprends pas trop, pour faire le vecteur GA il faut une position de G non ?
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Envoyé: 26.02.2009, 18:44
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Cosmos
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On ne "fait" pas des vecteurs , on n'a même pas besoin (ici) de dessiner G .
Fais appel à ces propriétés du cours :
P est le barycentre de (A,a) , (B,b) signifie :
1) a*vectPA + b*vectPB = vect0
2) pour tout point M : a*vectMA + b*vectMB = (a+b)*vectMP
Applique cette dernière propriété à :
P est le barycentre de (A,2) , (B,1) , donc pour tout point G , on a :
2*vectGA + 1*vectGB = ...
Mathtous
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Envoyé: 26.02.2009, 18:49
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P est le barycentre de (A,2) , (B,1) , donc pour tout point G , on a :
2*vectGA + 1*vectGB = 3*vectGP
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Envoyé: 26.02.2009, 18:51
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Cosmos
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Oui , fais la même chose avec S
Mathtous
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Envoyé: 26.02.2009, 18:54
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S est le barycentre de (C,2) , (B,1) , donc pour tout point G , on a :
2*vectGC + 1*vectGB = 3*vectGS
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Envoyé: 26.02.2009, 18:56
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Cosmos
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Oui , tu as donc 2 égalités :
2*vectGA + 1*vectGB = 3*vectGP
2*vectGC + 1*vectGB = 3*vectGS
Ajoute:
3*vectGP + 3*vectGS = ...
Mathtous
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Envoyé: 26.02.2009, 19:00
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3*vectGP + 3*vectGS = vecteur nul
donc G bar (P,3), (S,3)
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Envoyé: 26.02.2009, 19:02
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Cosmos
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Oui , donc que représente G pour P et S ?
Mathtous
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Envoyé: 26.02.2009, 19:04
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G milieu de [PS]
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Envoyé: 26.02.2009, 19:09
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Cosmos
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Parfait , ça prouve donc que G est sur la doite (PS) .
Tu devrais être capable de démontrer seul que G est aussi sur les droites (QT) et (RU) : les 3 droites passant par G sont donc concourantes .
Juste une remarque pour finir : tun as écrit
3*vectGP + 3*vectGS = vecteur nul ,
j'espère que tu as utilisé pour cela le fait que G est le barycentre de (A,2),(B,2),(C,2) ?
Mathtous
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Envoyé: 26.02.2009, 19:12
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Euuh non je ne l'ai pas utilisé, pourais-tu m'en dire plus stp ?
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Envoyé: 26.02.2009, 19:17
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Cosmos
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C'est la propriété 1) que j'ai cité plus haut , mais pour 3 points au lieu de 2 :
P est le barycentre de (A,a) , (B,b) signifie :
1) a*vectPA + b*vectPB = vect0
Donc , ici , puisque G est le barycentre de (A,2),(B,2),(C,2) , on a :
2*vectGA + 2*vectGB + 2*vectGC = vect0
Mathtous
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Envoyé: 26.02.2009, 19:23
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3*vectGP + 3*vectGS = 2*vectGA + 2*vectGB + 2*vectGC = vect0 car l'on sait que G est le barycentre de (A,2),(B,2),(C,2)
Merci beaucoup pour ton aide je devrais pouvoir finir tout seul.
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Envoyé: 26.02.2009, 19:24
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Cosmos
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OK
A plus tard , je me déconnecte .
Mathtous
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