Spécialité: Nombres premiers


  • W

    Bonjour, je bloque sur la 1ere question d'un exercice, du coup je ne peux pas faire la suite ...

    Montrer que pour tout entier relatif n, les entiers 14n+3 et 5n+1 sont premiers entre eux.
    J'ai essayé en utilisant le theoreme de Bézout, mais sans succés... J'ai u(14n+3) +v(5n+1)=1 , j'ai développé mais je suis bloquée ...

    De l'aide s'il vous plait !!!


  • Zauctore

    salut

    et avec des coefficients comme 5 et -14 ?


  • W

    Bonjour, j'avais effectivement trouvé qu'avec 5 et -14 ça marchait, mais est-ce que je peux le mettre comme ça : Pour u=5 et v=-14 on a bien u(14n+3) +v(5n+1)=1 donc 14n+3 et 5n+1 sont premiers entre eux.

    Ou est-ce qu'il faut que je résolve un systeme pour trouver u et v ??

    Merci de votre aide 😉


  • N
    Modérateurs

    Bonjour,

    Précise que tu appliques le théorème de Bezout.


  • M

    Bonjour ,
    soit d un diviseur commun à 14n + 3 et 5n + 1 .
    Il divise 5n + 1 , donc il divise 15n + 3 ( le triple )
    Il divise 15n+3 et 14n+3 , donc il divise leur différence : n
    Il divise n , donc il divise 5n .
    Il divise donc 5n et 5n+1 , donc ... ?


  • W

    Donc il divise 1 et le seul diviseur commun a 14n+3 et 5n+1 est 1 donc ils sont premiers entre eux . (C'est ça ??)

    Donc je n'utilise pas le théoréme de Bezout finalement, c'est mieux de faire comme ça ou non ??


  • N
    Modérateurs

    Les deux démonstrations sont correctes.
    Tu choisis celle que tu veux.


  • M

    wapiti
    Donc il divise 1 et le seul diviseur commun a 14n+3 et 5n+1 est 1 donc ils sont premiers entre eux . (C'est ça ??)

    Donc je n'utilise pas le théoréme de Bezout finalement, c'est mieux de faire comme ça ou non ??

    Pour Bézout , on peut te demander comment tu as fait pour trouver les coefficients .
    Penche-toi sur l'algorithme d'Euclide qui permet à la fois de trouver le PGCD et de trouver des coefficients à l'égalité de Bézout .
    Bon courage .


  • W

    Merci a tous pour votre aide, c'est vraiment gentil !
    Bonne continuation


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