extrema d'une fonction, je ne comprend pas le corrigé du prof!

Bonjour,

il y a certaines choses que je ne comprend pas dans le corrigé de mon exercice, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît?

Soit la fonction f définie en coordonnées polaires sur R² et à valeurs dans R par : f(r,n) = $r^4$ cos(4x).
Soit la fonction g définie sur R² et à valeurs dans R par g(x,y) = $x^4$ + $y^4$ - 6x²y²
g est telle que f(r,n) = g(x,y) si (x,y) et (r,n) sont respectivement les coordonnées cartésiennes et cylindriques d'un même r de R² [Ceci a été démontré dans une question précédente]

On calcule l'expresion du gradient de g en tout point et on cherche les points critiques. Voici ce qu'on trouve:

grad g = ( $4x^3$ -12xy²; $4y^3$ -12 x²y)
On cherche pour quelles valeurs de x et y le gradient s'annule on trouve alors les couples suivants :

(0,0)
(y√3, x√3)
(-y√3, -x√3)

[ce corrigé a été donné par le prof]

Ma question:le prof écrit ensuite qu'il n'y a qu'une seule solution, le couple (0,0).
Je ne comprend pas très bien pourquoi, est-ce parce-que dans les deux autres couples, les variables x et y sont liées?

Merci!