exercices sur les suites en terminale STG

bonjour,

j'ai un problème avec mon dm de math enfin surtout avec la derniere question! c'est quand meme bete!
pouvez-vous svp me corriger mes erreurs... et me les expliquer.

pour l'ex 1: ( cet exo concerne le chapitre sur les suites )
on s'interesse a l'evolution de la population d'une ville V et on veut etudier plusieurs modeles d'evolution. en 2005, la population de la ville V est estimée a 10000 habitants.

1ere hypothese:
en analysant l'evolution recente, on fait d'abord comme hypothese que la population de la ville V va augmenter de 500 habitants par an.
on note uo=10000 la population en 2005, et un la population en (2005+n).

a. NATURE de la suite : c'est une suite arithmétique de raison r 500 et de 1er terme uo=10000.

b.exprimer un en fonction de n: un=10000+500n

c. en quelle année la population atteindra-t-elle 20000 habitant?
pour tout n de N: un=10000+500n
10000=500n
n=20
la pop atteindra 20000 hab en 2025

2eme hypothese:
on travaille avec l'hypothese d'une augmentation de 4.7% par na. on note vn la population en (2005+n). nous avons alors vo=10000.

a. quelle sera la population en 2006? 2007?
2006 (v1) = vo x 1,047 = 10000 x 1,047 = 10470
la pop en 2006 sera de 10470 hab
2007 = v1 x 1,047 = 10000 x 1,047 = 10962
la pop en 2007 sera de 10962 hab

b. NATURE de la suite: c'est une suite géométrique
Exprimer vn en fonction de n : un= 10000 x 1,047^n ( ^ =puissance)

c. calculer la population de la ville en 2020.
pour tout n de N, on a (vn)=10000 x (1,047)^15
(vn)= 19916
en 2020, la pop sera de 19916 hab

en examinat l'evolution de villes comparables, des experts ont estimé que la population de la ville V considérée allait doubler en 15 ans.

d. le resultat trouver en 2)c) vous parait-il correspondre a ce que pensaien les experts?
j'ai dit que oui mes résultats correspondent a ce que pensaient les experts car 19916 et 20000 sont a peu près égale.

e. En quelle année la population dépassera-t-elle 30000 habitant?
alors la je ne trouve pas du tout ....
j'ai essayer ceci : pour tout n de N: on a (vn)=10000 x (1,047)^n
30000=10000 x (1,047)^n
mais le problème c'est que c'est impossible de trouver la puissance donc....

merci d'avance de l'aide que chacun pourra m'apporter!
bisous
sandrine

Bonjour Sandrine,
Ce que tu as fait m'a l'air juste.
Par contre pour la question e, ta traduction de l'énoncé n'est pas entièrement exacte. Ce serait plutôt :

$∀n∈N,\forall n \in N,$

$10000 \times 1.047^n \ge 30000$

As-tu vu en cours la fonction logarithme népérien ?

Bonne soirée.

bonjour, oui j'ai un cour sur les logarithme népérien mais qu'est ce que ça a avoir avec les suites?

oui c'est vrai que c'est mieux avec le >ou= vu que ça doit dépasser 30000 mais j'ai toujours le même problème, il faut que je trouve une puissance et je ne vois pas comment faire?

merci
bonne soirée a toi aussi

Ce n'est pas parce que tu fais un exercice sur les suites qu'il faut laisser de côté tout ce que tu as appris dans les autres chapitres.

Pour simplifier l'inégalité tu pourrais déjà commencer par diviser par 10000.

La fonction logarithme népérien est une fonction strictement croissante sur ]0;+∞[.
Donc on peut tranquillement dire que

Pour a, b > 0
a > b ⇔ ln a > ln b

et puis je te rappelle aussi que

$ln⁡(an)=n×ln⁡a\ln (a^n) = n\times \ln a$

Tu as compris ?
Bonne soirée.

franchement non j'ai pas bien compri......

comment je fais apparaitre un ln alors qu'il n'y en a pas?

j'ai essayer ça:

10000 x 1. $047^n$ ≥ 30000
1. $047^n$ ≥ 30000
nln1.047 ≥ ln30000
n1.047 ≥ 30000

et ce que la je peux diviser 30000 apr 1.047? car normalement il faut que n soit après 1.047....

Bonsoir,

Pour la résolution d'équation de la forme a^x = b, avec a et b >0, on utilise la fonction ln
en posant lna^x = lnb, et on utilise la relation lna^x = xlna
soit à résoudre x lna = lnb
donc x = ......

Pour résoudre
10000 x 1.047^n ≥ 30000
On commence par diviser par 10000
Soit à résoudre 1,047^n ≥30000/10000
ou 1,047^n ≥3
puis ln1,047^n ≥ln3
...
Je te laisse poursuivre

ça revient pas a ce que j'ai fait dans ma reponse precedente? car je retombe sur la meme chose c'est a dire n1.047 ≥ 30000

est ce que je fais: 30000÷1.047?

Non,
tu as : 1,047^n ≥3
puis ln1,047^n ≥ln3
comme ln1,047 > 0, alors
n > ln3 / ln1,047

je te laisse faire le calcul.

alors je trouve nln1.047 ≥ ln 3
n1.047 ≥ 3

mais la je peux pas diviser 3 par 1.047 car n est avant 1.047....alors qu'est ce que je peux faire?

Regarde mon dernier post.

ça fait n> ln3/ln1.047
n > 3/1.047
n> 2.865

c'est opas possible ça peut pas etre ça!

Non
ça fait n> ln3/ln1.047, or ln3/ln1,047 = 23,9108
Soit n > 23,9108

j'ai compri mais ja'i quand meme une question..

pourquoi on ne peut pas faire 3/1.047 car dans une propriété si lna>lnb alors a>b ?

ici tu résous une inéquation :
ax >b avec a >0, soit x > b/a.

ok ok merci!

donc ma reponse a la derniere question est que : la population depassera les 30000 en 2005 + 24 soit en 2029.

c'est la réponse.

d'accord

Merci beaucoup de votre aide et de votre patience!

Bonne soirée

Bonne soirée.