Exercice sur les suites/fonctions

Re-bonjour! de si bon matin
L'étude des fonctions est de loin ce que j'aime le moins. Surement car je ne vois rien. Pour cet exercice, j'ai pourtant essayé de faire des réponses "types" mais qui ne sont pas celles attendues selon mon professeur. Je viens donc vous demander de l'aide!

Exercice 2 :
On désigne par $f_n$ (n entier naturel non nul) la fonction définie sur (0; +∞( par :
$f_n$ (x)=(∑$$_{k=1}$x^k$)-1.

Le but de cet exercice est d'étudier la suite construite à partir des solutions de l'équations $f_n$ (x)=0.

Démontrer que pour tout entier naturel non nul, l'équation $f_n$ (x)=0 admet sur (0;1) une unique solutions. Cette solution est notée $u_n$ .
Calculer $u_1$ et $u_2$ .
Démontrer que 0< $u_n$ <1 pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2.
Etablir que, pour tout entier naturel n non nul : f $_{n+1}$ (x)> f $< e m > n$ (x) pour tout réel strictement positif.
En déduire que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2: f $em>{n+1}$ (u $< e m > n$ ) > 0 puis, par un raisonnement par l'absurde, que : u $em>{n+1}$ < u $_n$ .
Démontrer que la suite ( u $_n$ ) est convergente.
Démontrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : 0 ≤ u $_n$ $^{n+1}$ ≤ u $_2$ $^{n+1}$ .
En déduire que lim(n→+∞)u $_n$ $^{n+1}$ =0
Démontrer que pour tout réel x différent de 1 et pour tout entier n non nul :
f $_n$ (x) = (-x $^{n+1}$ +2x-1)/(1-x).
En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 : u $_n$ $^{n+1}$ =2u $_n$ -1 puis déterminer la limite de la suite (u $_n$ ).

Bonjour,

calculer la dérivée de $f_n$ .
montrer que $f_n$ est croissante
calculer $f_n$ (0) et $f_n$ (1)
appliquer le théorème des valeurs intermédiaires
cela devrait être faisable de savoir quand

$f_1$ (x) = x - 1 s'annule

$f_2$ (x) = x² + x - 1 s'annule

appliquer la question 1
$f_{n+1}$ (x) = $x^{n+1}$ + $f_n$ (x)

Pour la suite tu me dis où tu en es !